$%fn(x)=xe^{-nx} \cdot \ln^2 n$% на $%[0;+\infty]$%.

задан 26 Янв '15 11:24

изменен 27 Янв '15 12:29

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

При $%x=0$% очевидно, $%\lim\limits_{n\to\infty}{f_{n}(0)}=0.$% Пусть теперь $%x>0.$% Тогда $$\lim\limits_{n\to\infty}{f_n(x)}=\dfrac{x}{e^{nx}}\ln^2{n}\underset{n\to{\infty}}\rightarrow{0}.$$ Таким образом, поточечно функциональная последовательность сходится к функции $%f(x)$%, тождественно равной нулю на $%[0,\,+\infty).$% Учитывая положительность $%f_{n}(x)$% на $%(0, +\infty)$%, найдем $$\sup\limits_{x\in [0,\,+\infty)}{|f_n(x)-f(x)|}= \sup\limits_{x\in [0,\,+\infty)}{|f_n(x)|}=\sup\limits_{x\in [0,\,+\infty)}{f_n(x)}.$$ Дифференцируя $%f_n(x)$%, получим $$\dfrac{df_n(x)}{dx}=\dfrac{1-nx}{e^{nx}}\cdot\ln^2{n},$$ откуда следует, что точка $%x_n^{(0)}=\dfrac{1}{n}$% является точкой максимума $%f_n(x),$% причем $$f_n\left(\dfrac{1}{n}\right)= \dfrac{\ln^2{n}}{n} \underset{n\to\infty}{\to} 0.$$ Поэтому и $$\sup\limits_{x\in [0,\,+\infty)}{|f_n(x)|}=\dfrac{\ln^2{n}}{n} \underset{n\to\infty}{\to} 0,$$ откуда следует равномерная сходимость $%{f_{n}(x)} \underset{n\to{\infty}}\rightrightarrows{0}, \;\;{x\in [0,\,+\infty)}.$%

ссылка

отвечен 26 Янв '15 15:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,139

задан
26 Янв '15 11:24

показан
173 раза

обновлен
27 Янв '15 12:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru