Функция $%f:\mathbb R\to \mathbb R$% такова, что для всех $%x,y\in\mathbb R$% $$f(x+y+xy)=f(x)+f(y)+f(xy).$$ Доказать, что $$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ для всех $%x,y\in\mathbb R.$%

задан 28 Янв '15 21:50

Есть какие-то соображения, близкие к решению, но пока я до конца их не довёл. Хотелось бы по возможности сделать всё покороче.

(30 Янв '15 16:09) falcao

Все решения получаются манипулированием подстановок. Есть достаточно короткое решение.

(30 Янв '15 17:09) EdwardTurJ

Это понятно, но не всегда получается угадать нужный вид подстановок. Чем больше возможностей, тем труднее (по крайней мере, для меня). Думаю, что я смогу завершить намеченное рассуждение, но это займёт какое-то время.

(30 Янв '15 18:47) falcao

Эта функция вида $%y=kx.$% Для начала замечаем, что $%f(0)=0;f(-x)=-f(x); f(2x+1)=2f(x)+1;...$%

(30 Янв '15 20:59) AxelMath

@AxelMath: Вы не правы. Посмотрите "Существование других решений" в https://ru.wikipedia.org/wiki/Функциональное_уравнение_Коши

(30 Янв '15 21:05) EdwardTurJ

Да, есть и другие. Я не до конца решал это задание и сделал предположение...

(31 Янв '15 15:48) AxelMath
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Полагая $%y=-1$% в основной формуле, получаем как следствие, что функция нечётна: $%f(-x)=-f(x)$%. В частности, $%f(0)=0$%.

Применяя замену $%y\mapsto-y$% и используя свойство нечётности, приходим к равенству $%f(xy+y-x)=f(xy)+f(y)-f(x)$% после смены знака у обеих частей. Вычитая это равенство из исходного, имеем $%f(xy+y+x)-f(xy+y-x)=2f(x)$%.

При $%x\ne-1$% положим $%y=\frac{x}{x+1}$%, откуда $%f(2x)=2f(x)$%. С учётом этого, полагая $%y=\frac{x+t}{x+1}$% для произвольного $%t$%, имеем следствие $%f(t+2x)-f(t)=2f(x)=f(2x)$%, которое по сути означает аддитивность функции. Ограничение $%x\ne-1$% роли не играет, так как ввиду нечётности функции, при доказательстве свойства аддитивности можно считать одно из слагаемых положительным.

ссылка

отвечен 31 Янв '15 7:28

@falcao: У меня решение тоже на основе равенства $%f(xy+y+x)-f(xy+y-x)=2f(x)$%.

(31 Янв '15 13:45) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: я к этому равенству пришёл при одном из устных размышлений, во время поездки в транспорте. Но не сразу осознал, что его уже достаточно. Пришлось потом написать всё на бумаге, и когда я осознал, что из него следует $%f(2x)=2f(x)$%, всё тут же сложилось.

Трудность таких задач в том, что там есть слишком много возможностей. Например, я с самого начала пытался сыграть на том, что в левой части имеется выражение $%(x+1)(y+1)-1$% под знаком функции. Но это ни к чему не привело.

(31 Янв '15 17:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×69

задан
28 Янв '15 21:50

показан
811 раз

обновлен
31 Янв '15 17:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru