|
На первом этаже 9-этажного дома в лифт вошли 5 человек. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже, начиная со второго, одинакова. Найти вероятность того, что два человека выйдут на одном этаже, а остальные на разных этажах. Спасибо ^_^ задан 21 Май '12 15:39 
Biohazard |
|
Предполагаю следующее: $%1. \ \ $%Если пять человек, вошедших в лифт, отличаются друг от друга, тогда $$P = (\frac{1}{8})^5 \cdot C_5^2 \cdot \frac{8!}{(1!)^4 \cdot 4!} = (\frac{1}{8})^5 \cdot C_5^2 \cdot C_8^4 \cdot 4! = (\frac{1}{8})^5 \cdot C_5^2 \cdot A_8^4, $$ где $%\frac{1}{8}$% - вероятность выхода $%i$%-го человека ($%i \in \{1, 2,..., 5\}$%) на $%j$%-ом этаже ($%j \in \{2, 3,..., 9\}$%). Пояснение Пусть: 1.0 $%\mathbb{M} = \{1_m, \ 2_m,..., 5_m\}$% - множество людей, которые вошли в лифт на 1-ом этаже; при этом по условию задачи $% card(\mathbb{M}) = 5$%. 1.1 $%M_1 = \{2_m, 4_m\}, \ M_2 = \{1_m\}, \ M_3 = \{3_m\}, \ M_4 = \{5_m\}$% - четыре подмножества множества $%\mathbb{M}$%. 2.0 $% S = \langle 2_s, \ 3_s, \ 4_s, \ 5_s, \ 6_s, \ 7_s, \ 8_s, \ 9_s \rangle $% - последовательность этажей 9-го этажного дома, на каждом из которых могло выйти только одно из вышеуказанных подмножеств множества $%\mathbb{M}$%. 2.1 $% F = \begin {bmatrix} 2_s & 3_s & 4_s & 5_s & 6_s & 7_s & 8_s & 9_s \\ \varnothing & M_4 & M_2 & \varnothing & \varnothing & M_1 & \varnothing & M_3 \end {bmatrix} $% - матрица, иллюстрирующая один из возможных вариантов "опорожнения" лифта от элементов множества $%\mathbb{M}$% (например, подмножество $%M_3$% элементов множества $%\mathbb{M}$% вышло из лифта на 9-ом этаже, а подмножество $%M_1$% элементов множества $%\mathbb{M}$% вышло из лифта на 7-ом этаже). 3.0 $% F' = \begin {bmatrix} 1_m & 2_m & 3_m & 4_m & 5_m \\ 4_s & 7_s & 9_s & 7_s & 3_s \end {bmatrix} $% - матрица, иллюстрирующая "выход" каждого элемента множества $%\mathbb{M}$% из лифта (например, элемент $%3_m$% вышел из лифта на 9-ом этаже, а элементы $%2_m$% и $%4_m$% вышли из лифта на 7-ом этаже). $%2. \ \ $%Если пять человек, вошедших в лифт, не отличаются друг от друга, тогда $$P = \frac{1}{C_{8 + 5 - 1}^5} \cdot \frac{8!}{1! \cdot 3! \cdot 4!} = \frac{35}{99} \approx 0.35 $$ отвечен 22 Май '12 2:16 
Галактион Нет, это был один человек в 5 лицах. И вообще в лифт вмещалось только 4 человека, так что он никуда не пошел. Вероятность равна 0. ;-))
(22 Май '12 9:13)
DocentI
Да, про неразличимых людей - это было сильно сказано!
(22 Май '12 12:55)
Андрей Юрьевич
А если вероятность представить как отношение размещений 4 на 8 этажах без повторений (3 на разных и парочка) к размещению 5 на 8 этажах с повторениями? Извиняюсь не разобрался с генератором формул еще =/
(22 Май '12 14:16)
Biohazard
Тогда будет $%p=\frac{C_5^2\cdot\ A_8^4}{8^5}$%,это одно и тоже.
(22 Май '12 15:18)
ASailyan
Если верить http://ru.wikipedia.org/wiki/Размещение, то размещение не нужно умножать на сочетание, т.к. "размещения учитывают порядок следования предметов".
(22 Май '12 15:29)
Biohazard
@Biohazard, пишите формулы в "долларовых скобках", т.е. $%$$$% или "доллар+процент" с каждой стороны. Потренируйтесь в окне "задать вопрос", т.к. там есть демонстрационное окно, где видно, что получится в результате.
(22 Май '12 19:51)
DocentI
Спасибо за совет. Говоря про размещение, я имел в виду то, что в размещении есть все варианты перестановок этих несчастных людей. В отличии от сочетаний. Если уж очень хочется умножения, то можно умножить сочетание на перестановку.
(23 Май '12 0:08)
Biohazard
Да уж, мы столько говорим об этих людях, что им, наверное, уже икается! Хотя, казалось бы, задача уже решена!
(23 Май '12 0:15)
DocentI
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
$%\large p=\frac{C_5^2\cdot 8\cdot A_7^3}{8^5}=\frac{10\cdot 8\cdot 7\cdot6\cdot5}{8^5}\approx0.51$% отвечен 21 Май '12 16:55 
ASailyan |
|
Задача эквивалентна следующей: "Бросают 5 восьмигранных кубиков с цифрами от 2 до 9 на гранях. Какова вероятность того, что на каких-то двух кубиках выпадет одинаковое число, а на остальных трех - различные между собой числа, отличные от числа этой пары." Подсчитывать это количество слагаемых можно разными способами. У @Галактион количество пар рассчитывается так же, но дальше рассматривается множество из 4-х элементов (одна пара+3 кубика) и подсчитывается количество вариантов распределения 8 чисел по этим 4-м элементам. Это количество (если написать коротко) равно $%A_8^4 $%, что, естественно, совпадает с $% 8\cdot A_7^3 $%. Кстати, из такого решения сразу следует обобщение - понятно как будет выглядеть ответ, если человек (кубиков) n, этажей (граней) m, а количество людей, которые должны выйти на одном этаже равно {$%k_1,k_2,..k_p $%}. Кстати, желающие убедиться в правильности ответа могут написать программку, которая переберет все $%8^5$% вариантов и выберет благоприятные. Правда, программка будет не совсем простая, потому что логика отбора - достаточно разветвленная. отвечен 23 Май '12 12:42 
Андрей Юрьевич Подскажите, чем ошибочно считать количество вариантов как $$C_8^4\cdot5!$$
(23 Май '12 17:22)
Biohazard
Можно, конечно, сначала выбрать 4 этажа (цифры), это, действительно, можно сделать $%C_8^4$% способами. Но затем нужно распределить 5 человек (кубиков) по этим 4 этажам. И здесь количество способов отнюдь не $%A_5^4=5!$%, т.к. мало выбрать упорядоченную четверку, после такого выбора останутся дополнительные варианты, связанные с отправкой оставшегося 5-го человека на тот или иной этаж. Так что способов будет не $%5!$%, а $%C_5^2 \cdot 4!=2 \cdot 5!$% - в 2 раза больше. Чтобы удостовериться советую взять 3 этажа и 4 человек и расписать все способы (при 2 и 3 получается случайное совпадение).
(23 Май '12 22:38)
Андрей Юрьевич
К сожалению выразился не совсем точно, 5! означает количество перестановок всех пяти человек.
(24 Май '12 2:28)
Biohazard
Дело в том, что $%A_5^4=A_5^5=P_5=5!$%. В любом случае - это неправильное число вариантов (см. выше).
(24 Май '12 2:34)
Андрей Юрьевич
Уважаемый @Biohazard, уже 4 человека дали Вам решение (включая Анатолия, который снял свой ответ, как повторяющий), а Вы все не успокоитесь! Уверяю Вас, решение правильное и не надо его переделывать! Перестановки всех пяти человек в Вашем примере совсем не при чем, так как эти люди играют разную роль. Как, собственно, вы будете их расставлять, если "мест" всего 4?
(24 Май '12 9:09)
DocentI
Просто забыл что ответ правильный не отметил =) А в комментариях пытался понять в чем моя ошибка. Давно не решал задач =\
(24 Май '12 11:03)
Biohazard
показано 5 из 6
показать еще 1
|