Методом Ньютона (или при помощи формул Ньютона) я научился.Это вообще-то довольно долго. Нет ли еще способа нахождения суммы n-х степеней корней?

задан 30 Янв '15 20:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Давайте рассмотрим на примере всё того же уравнения $%x^4-x^3-1=0$%. Целью является получение простого способа вычисления сумм $%S_n$% для $%n$%-х степеней корней, где $%n$% произвольно.

Прежде всего, из условия $%x^{n+4}=x^{n+3}+x^n$%, то есть прямо из уравнения, непосредственно следует, что $%S_{n+4}=S_{n+3}+S_n$%, то есть имеется очень простая рекуррентная формула (суммируем по всем корням). Поэтому достаточно узнать начальные значения $%S_n$% для нескольких $%n$%. В данном примере нам их нужно 4. Очевидно, что $%S_0=4$%, а также из теоремы Виета ясно, что $%S_1=1$%. Легко вычисляется $%S_{-1}$% (нулевых корней нет): $%S_{-1}=\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_4}=0$%, что также ясно из теоремы Виета, так как числитель дроби $%x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4$% есть не что иное как коэффициент при $%x$% со знаком "минус". Наконец, $%S_2=x_1^2+\cdots+x_4^2=(x_1+\cdots+x_4)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+\cdots)=a_1^2-2a_2=1$% в силу теоремы Виета (здесь $%a_k$% есть коэффициент при $%x^k$%). Таким образом, начальные 4 значения заданы: 0,4,1,1, и далее всё вычисляется рекуррентно. Получается $%S_3=S_2+S_{-1}=1$%; $%S_4=S_3+S_0=5$%, и следующими числами будут 6, 7, 8, 13, 19, 26, ... и так далее.

Это общий способ, и он в принципе подходит для любого уравнения.

ссылка

отвечен 30 Янв '15 20:17

@falcao: Это и есть тождества Ньютона для случая, тогда степень больше количества переменных.

(30 Янв '15 20:57) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: вообще-то да, но я уже говорил, что не хотел ссылаться на общий факт как на нечто готовое. Здесь ведь следствие получается совсем просто, и обозначений сложного вида не надо привлекать.

(31 Янв '15 7:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,152

задан
30 Янв '15 20:01

показан
205 раз

обновлен
31 Янв '15 7:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru