Докажите, что график многочлена степени n пересекает любую горизонтальную прямую не более, чем в n точках.

задан 31 Янв '15 14:18

@melwentay, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(31 Янв '15 18:33) Виталина

Это ответ на комментарий @AxelMath (внизу уже места не осталось). В Вашем ответе вопрос о пересечении с произвольной горизонтальной прямой сведён к вопросу о пересечении с осью Ox. Ясно, что это фактически один и тот же вопрос, потому что прибавление константы не влияет на степень. Конечно, тот факт, что многочлен n-й степени имеет не более n корней, сам по себе широко известен. Но он всё равно должен в какой-то момент доказываться, и это делается при помощи теоремы Безу. Метод интервалов сам по себе тут не помогает, так как он применяется к уже разложенному на множители многочлену.

(1 Фев '15 21:00) falcao

Я говорил лишь о представлениях: интуитивных, практических и т.д учащихся обыкновенной школы, и поэтому пример с интервалами относится именно к этим представлениям. Понятно, что для решения этой задачи можно использовать не только теорему Безу, а и основную теорему алгебры о корнях многочлена...Интересно все-таки знать где предлагалась эта задача? Я редко посещаю этот ресурс, но вижу, что здесь имеются очень придирчивые, "ясновидящие" участники (посетители)...:) Так держать и дольше:((!

(1 Фев '15 21:37) AxelMath

@AxelMath: есть несколько фактов, которыми часто пользуются, хотя в школьном курсе они строго не доказываются (помимо факультативов и прочего). Скажем, основная теорема арифметики может быть таким примером. Её доказательство (в части единственности) нетривиально. То же касается факта, что многочлен степени n имеет не более n корней. Это надо доказывать или нет? Если факт считать интуитивно или как-то ещё очевидным, то и сам вопрос можно было не задавать.

Основная теорема алгебры сама по себе здесь не нужна, а её следствие о разложении на линейные множители использует ту же теорему Безу.

(1 Фев '15 22:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Предположим, что многочлен $%P(x)$% пересекает прямую $%y=a$% не менее, чем в $%n+1$% точке. Тогда по теореме Безу $%P(x)-a=Q(x)(x-x_1)(x-x_2)\cdot...\cdot(x-x_{n+1})$%. Но слева - многочлен $%n$% степени, а справа - степени, не меньшей, чем $%n+1$%. Противоречие

ссылка

отвечен 31 Янв '15 14:48

изменен 31 Янв '15 14:54

10|600 символов нужно символов осталось
0
ссылка

отвечен 31 Янв '15 14:24

изменен 1 Фев '15 0:49

10|600 символов нужно символов осталось
-1

Ось $%Ox$% многочлен $%P(x)$% степени $%n$% может пересекать не более чем в $%n$% точках. Пусть $%y=a$% -прямая, которая пересекает многочлен $%Q(x)$% в максимальном числе точек, тогда многочлен $%Q(x)-a$% в точках с этими абсциссами пересекает ось $%Ox$%.

ссылка

отвечен 31 Янв '15 16:09

изменен 31 Янв '15 16:10

Кому это не понравились два предыдущих ответа:))?.

(31 Янв '15 18:46) AxelMath

@AxelMath, Кому это не понравились.. - ТС... девушка любит полные решения на свои простые вопросы...

(31 Янв '15 20:13) all_exist

@all_exist: справедливости ради надо признать, что ссылка на основную теорему алгебры выходит за рамки школьного курса, и вообще это утверждение (о существовании комплексных корней) здесь не нужно. Речь должна идти о следствии из теоремы Безу, как это описано у @EdwardTurJ. Вопрос-то был задан учебного характера, поэтому ссылаться можно только на то, что изучено к этому моменту.

(31 Янв '15 21:42) falcao

@falcao, справедливости ради надо отметить, что ТС нигде не говорит о школьном содержании вопросов...

(1 Фев '15 0:49) all_exist

@all_exist: мне кажется, сам характер задаваемых вопросов говорит о том, что это не подготовка к вузовским экзаменам или что-то вроде этого.

(1 Фев '15 1:21) falcao

@falcao, а при чём тут подготовка к вузовским экзаменам?... или не допускается предположение о том, что ТС что-то не учил весь семестр и теперь навёрстывает с простых задач...

(1 Фев '15 13:05) all_exist

@all_exist: нет, не допускается -- поскольку предыдущие вопросы касались свойств линейных функций. Я бы скорее предположил, что это задачи типа факультативных, хотя я могу ошибаться.

(1 Фев '15 13:59) falcao

@falcao, Я бы скорее предположил, что это задачи типа факультативных - тогда про основную теорему им могли и рассказать...

(1 Фев '15 14:24) all_exist

@all_exist: это очень сомнительно (у самой теоремы доказательства весьма сложные). Могли разве что сообщить сам факт, но даже он требует знакомства с комплексными числами. Но это всё предположения, а суть состоит в том, что основная теорема алгебры чисто математически не имеет к вопросу никакого отношения. Ведь здесь речь идёт о графиках, то есть корни рассматриваются действительные. И надо обосновать, что их не больше n. Делается это при помощи теоремы Безу, которая намного проще. И её здесь достаточно, а комплексные корни -- вещь совсем посторонняя.

(1 Фев '15 14:43) falcao

@all_exist, пардон, но каждый ваш ответ или подсказка уже помогает мне. Я бы никогда не отметила чей-то ответ, как непонравившийся. Ссылаться на меня, только потому что мне необходимо уточнять свои ответы, не нужно.

(1 Фев '15 15:13) melwentay

Сколько комментариев...:) А вот что с моим ответом? Неужели уровень аспирантуры...:)? Ведь в школе ученики имеют представление о том, какое максимальное число точек пересечения может иметь многочлен п-й степени с осью Ох. Вспомните хотя бы метод интервалов...

(1 Фев '15 19:53) AxelMath
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×295
×48

задан
31 Янв '15 14:18

показан
590 раз

обновлен
1 Фев '15 22:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru