Весь вечер решить пытаюсь: При каком наименьшем целом значении параметра a уравнение имеет только два различных корня?

$$\sqrt{2x+15}\big (\sqrt{x^2 + 18x + 81} - \sqrt{x^2 - 10x + 25}\big) = a\sqrt{2x+15}$$

Рассуждал так: если 2x+15 > 0, то выражение $%\sqrt{2x+15}$% превращается в некоторое иррациональное число и можно разделить обе части уравнения на это число. Затем приравняв это все к нулю покажем что выражение может иметь либо один либо бесконечное множество корней. И тогда останется только приравнять к нулю параметр и всю левую часть начального выражения. Но что-то мне подсказывает, что делать так не нельзя и есть какой-то способ найти значения параметра меньше чем 0.

задан 22 Май '12 0:32

изменен 22 Май '12 1:14

DocentI's gravatar image


9.8k837

10|600 символов нужно символов осталось
1

Число x = -15/2 будет корнем уравнения при любом a.
Рассмотрим $%x > -7,5$%. При этом условии действительно можно сократить уравнение на $%\sqrt{2x+15}$% и оно примет вид $%|x+9| - |x-5|=a$%. Обозначим левую часть через f(x). График левой части состоит из двух горизонтальных лучей, лежащих на прямых x = 14, x = - 14 и отрезка прямой, соединяющего их концы. Значит, уравнение f(x) = a имеет единственное решение, если $%f(-7,5) \le a < 14$%. Однако левый конец промежутка надо исключить, так как для этого значения оба корня соавпадают!

ссылка

отвечен 22 Май '12 1:29

изменен 22 Май '12 9:08

все, понял свою ошибку. спасибо.

(22 Май '12 1:52) 4ell

@4ell, я исправила решение с учетом ОДЗ.

(22 Май '12 8:49) DocentI

я считал немного по другому, рассматривал промежутки -7.5<x<=5, x>5 потом раскрывал модули получалось в первом случае 2x+4=a, во втором a=14, 2x+4=a | x>-7.5 => -11 < a < 14, выходит ответ -10

(22 Май '12 9:41) 4ell

Конечно, это я и имела в виду, просто не писала подробно - Вы ведь сами решите!

(22 Май '12 10:32) DocentI

Вы, наверное, имели в виду прямые f(x)=14 и f(x)=-14 ?

(22 Май '12 13:36) Андрей Юрьевич

С учетом ОДЗ график левой части состоит из отрезка AB и горизонтального луча BE(где А(-7,5;-11), B(5;14)). A вообще автор правильно рассуждал, просто надо аккуратно довести до конца.

(22 Май '12 14:14) ASailyan

Согласна с @Андрей Юрьевич. Решение написано в спешке и несклько небрежно. Для @ASailyan: имеется в виду не левая часть исходного уравнения, а только разность модулей.

(22 Май '12 14:56) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Продолжая рассуждения @DocentI предлогаю решение для второй части задачи . Надо потребовать, чтобы уравнение $%|x+9|-|x-5|=a $% уравнение имела одно ровно решение в промежутке $%(-7.5;\infty)$%. Геометрически левая часть это разность расстояний точки $%x$% от точек $%-9$% и $%5$%.Для всех точек $%[5;\infty)$% эта разность равна $%14$%.А для всех точек $% (-7.5;5)$% расность равна $%2x+4$% , занчит одназначна и принимает все значения от $%(-11;14)$%. Значит при $%a=14$% уравнение имеет бесконечное число решений,если $%а>14$% или $%а\le-11$% уравнение не имеет решений, а при $%a\in(-11;14)$% ровно одно решение,тогда исходное уравнение будет иметь $%2$% решения.

Ответ. $%a\in(-11;14)$%

ссылка

отвечен 22 Май '12 14:43

изменен 22 Май '12 14:54

Не обязательно решать отдельно это уравнение. Достаточно сразу ограничить x значением x >- 7,5, тогда (в силу возрастания f(x)) a > f(-7,5)=-11.

(22 Май '12 15:02) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×213

задан
22 Май '12 0:32

показан
1431 раз

обновлен
22 Май '12 15:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru