Двенадцать равных кругов, расположенных на одной плоскости, последовательно касаясь, образуют замкнутую цепочку. Тринадцатый круг этой плоскости , радиус которого относится к радиусу круга цепочки как $%m:n$%, катится без скольжения по внешней стороне цепочки (касаясь кругов цепочки). Сколько оборотов сделает этот (тринадцатый круг) при возвращении в исходное положение? Сколько решений имеет задача в зависимости от $%m:n$% ?

задан 31 Янв '15 19:28

изменен 31 Янв '15 19:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пускай радиусы всех кругов равны единице. Заметим, что когда подвижный круг прокатится по дуге $%\phi$% неподвижного, он повернется на угол $%2\phi$%.

Теперь найдет сумму дуг неподвижных кругов, которые соприкасаются с подвижным кругом (считаем, что подвижный круг соприкасается со всеми кругами). Внутри цепочки сумма дуг равна $%10\pi$%, вне цепочки $%24\pi-10\pi=14\pi$%. Ещё нужно вычесть $%2/3\pi$% из каждого из 12 недоступных углублений между кругами. Итого $%14\pi-12\cdot2/3\pi=6\pi$%. Умножаем на $%2$% (согласно замечания) и делим на $%2\pi$%, и получаем ответ: $%2\cdot6\pi/2\pi=6.$%

Если подвижный круг отличается от неподвижных, то в решении будут две поправки:

  1. Когда подвижный круг прокатится по дуге $%\phi$% неподвижного, он повернется на угол $%(1+m/n)\phi$%.
  2. Нужно аккуратно вычислить сумму 12 недоступных углублений между кругами (через аркфункции).
ссылка

отвечен 31 Янв '15 20:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,393

задан
31 Янв '15 19:28

показан
243 раза

обновлен
31 Янв '15 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru