Найти все $%x$%, при которых сходится ряд $% \sum_{k=1}^\infty x^k \sin k$%

задан 31 Янв '15 22:41

1

При $%|x|=1$% ряд расходится, так как $%\sin k$% не стремится к нулю.

При $%|x|<1$% ряд сходится, так как $%\sin k$% ограничен.

(31 Янв '15 22:56) EdwardTurJ

То есть, если у нас есть сходящийся ряд, мы можем взять его общий член и умножить на член ограниченной последовательности, и получится сходящийся ряд?

И для $%|x|>1$% тогда получится, что умножаем неограниченное на ограниченное, получается неограниченное и ряд расходится?

(31 Янв '15 23:10) student

@student: Оба Ваши предложения верны.

(31 Янв '15 23:31) EdwardTurJ

@student: я бы сделал поправку к одному из Ваших утверждений. Если мы неограниченное умножаем на ограниченное, то может получиться что угодно (например, при умножении на ноль). Нужный эффект достигается лишь тогда, когда ограниченное отделено от нуля константой.

(1 Фев '15 0:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

При $%|x| < 1$% (абсолютная) сходимость ряда очевидна в силу признака сравнения: ряд мажорируется по модулю сходящейся геометрической прогрессией.

Теперь осталось обосновать расходимость ряда при $%|x|\ge1$%. Достаточно воспользоваться необходимым признаком сходимости, показав, что общий член ряда не стремится к нулю. Ввиду неравенства $%|x^k\sin k|\ge|\sin k|$%, достаточно установить, что $%\sin k$% (с модулем или без) не стремится к нулю при $%k\to\infty$%.

Проверить это можно от противного. Допустим, что предел равен нулю. Тогда последовательность $%\sin(k+1)=\sin k\cos1+\cos k\sin 1$% тоже стремится к нулю. Из этого получается, что не только синус, но и косинус $%k$% стремится к нулю (ввиду $%\sin1\ne0$%), но одновременное стремление к нулю синуса и косинуса противоречит основному тригонометрическому тождеству.

ссылка

отвечен 31 Янв '15 23:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×550
×287

задан
31 Янв '15 22:41

показан
247 раз

обновлен
1 Фев '15 0:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru