Докажите следующее утверждение:

Если несократимая дробь alt text является корнем многочлена alt text с целыми коэффициентами, то alt text делится на alt text, а alt text делится на alt text.

Пользуясь утверждением предыдущего упражнения, решите уравнение:

alt text

задан 1 Фев '15 18:48

изменен 1 Фев '15 20:06

1

Проверьте (подставьте в правую часть уравнения) $%x=+-\frac 1 9; x=+-\frac 2 9; x=+-\frac 1 3; x=+-\frac 2 3; x=+-\frac 2 3; +-1;+-2;+-3;+-6$% Проверьте условие - рациональных корней нет

(1 Фев '15 19:01) Lyudmyla
10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь нужна дополнительная оговорка, что $%p\ne0$%. При этом $%a_n\ne0$%.

Доказательство такое: подставим $%x=p/q$% в уравнение, и потом домножим на $%q^n$%, чтобы исчезли дроби. Получится равенство $%a_0p^n+a_1p^{n-1}q+\cdots+a_{n-1}pq^{n-1}+a_nq^n=0$%.

Из него следует, что $%a_0p^n$% кратно $%q$% (у всех остальных слагаемых можно выделить $%q$% в качестве множителя. Ввиду того, дробь несократима, числа $%p$% и $%q$% взаимно простые. Это означает, что наличие множителя $%p$% при делении на $%q$% никак не помогает, то есть на $%q$% делится уже число $%a_0$%. Следует это из основной теоремы арифметики о единственности разложения натуральных чисел на простые множители.

Аналогично, последнее слагаемое $%a_nq^n$% кратно $%p$%, и так же точно можно сократить на $%q^n$% из-за взаимной простоты. Поэтому $%a_n$% делится на $%p$%.

К решению уравнения это применяется так. По доказанному, $%6$% делится на $%p$%, откуда $%p\in\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm6\}$%. Далее, $%9$% делится на $%q$%, откуда $%q\in\{1;3;9\}$%. Здесь уже знак "минус" учитывать не надо. Далее выписываем все несократимые дроби вида $%p/q$%. Вариантов здесь много, и в явном виде их перечислять я не буду. Важно то, что войдут все значения для $%p$%, то есть целые числа (при $%q=1$%), а также то, что дробей типа 6/9 учитывать не надо. После того, как построен список возможных корней, надо последовательно подставлять каждое из них в левую часть уравнения, и смотреть, получится ли при этом ноль. Если да, то найден рациональный корень.

Вычисления удобнее всего делать при помощи схемы Горнера. Её описание есть в учебниках.

То конкретное уравнение, которое здесь указано, рациональных корней не имеет. Можно предположить, что в условии имеется опечатка. В этом случае можно только перебрать все выписанные корни и проверить, что ни один из них не годится. Это достаточно хлопотное дело. И в этом случае корни иррациональны, а уравнение решается лишь через формулу Кардано. Вряд ли это имелось в виду.

ссылка

отвечен 1 Фев '15 19:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×465

задан
1 Фев '15 18:48

показан
295 раз

обновлен
1 Фев '15 20:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru