Доказать, что если длина каждой из биссектрис треугольника больше $%1$%, то его площадь больше $%\frac{1}{\sqrt{3}}$%

задан 3 Фев '15 10:34

изменен 3 Фев '15 10:37

EdwardTurJ's gravatar image


50181175

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пускай $%a\le b\le c$% - стороны треугольника, тогда $%\gamma\ge60^{\circ}$% и $$1< l_c^2=\frac{4a^2b^2\cos^2\frac{\gamma}2}{(a+b)^2}=\frac{4ab}{(a+b)^2}ab\cos^2\frac{\gamma}2\le ab\cos^2\frac{\gamma}2=2S\frac{\cos^2\frac{\gamma}2}{\sin\gamma}\le2S\frac{\cos^230^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=\sqrt{3}S,$$ $$S>\frac1{\sqrt{3}}.$$

ссылка

отвечен 3 Фев '15 22:18

изменен 3 Фев '15 22:59

Примерно таким же путём можно доказать "противоположное" утверждение:

Доказать, что если длина каждой из биссектрис треугольника меньше $%1$%, то его площадь меньше $%\frac{1}{\sqrt{3}}$%.

(4 Фев '15 22:42) EdwardTurJ

@EdwardTurJ:извините пожалуйста,а как можно показать если смотрим условия 1<(L(a))^2 , в этом случай или alfa=?

(8 Фев '16 11:43) kerim
1

@nicat: в чём состоит Ваш вопрос? Здесь в решении взят наибольший из углов треугольника. Его обозначили через $%\gamma$%. Неравенства даны для всех биссектрис, и используется то, которое здесь указано. Из этого получается неравенство для площади. Она ведь одна, и никаких дополнительных случаев, относящихся к двум другим углам, рассматривать не нужно.

(8 Фев '16 16:44) falcao
1

Я подумал уже было, что EdwardTurJ вернулся на форум

(8 Фев '16 18:02) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,695
×669
×239
×196

задан
3 Фев '15 10:34

показан
664 раза

обновлен
8 Фев '16 18:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru