Помогите, пожалуйста, решить

$$y''' - 2y'' + 4y' - 8y = e^{2x}\sin(2x) + 2x^2$$

Для начала решаем характеристическое уравнение, у меня получились корни $$v_1=2, v_2,v_3 =\pm 2i$$

После мы должны решить $$y''' - 2y'' + 4y' - 8y = e^{2x}\sin(2x), y''' - 2y'' + 4y' - 8y = 2x^2$$ с получившимися корнями $%v_1, v_2, v_3$%?

(И еще: как вставлять уравнения в нормальном виде в вопрос (чтобы была как записанная формула. Прочитал на вики, что используется какая то технология mathml и TeX)?)

задан 22 Май '12 20:40

изменен 22 Май '12 21:12

DocentI's gravatar image


9.8k937

1

Ставьте формулы в "долларовые" скобки (см. справку)

(22 Май '12 20:47) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Эта тема поднимается уже не в первый раз. См., например, здесь.

Корни характеристического уравнения нужны для построения общего решения однородного уравнения. К ним прибавляется частное решение. В данном случае правая часть специального вида, для таких правых частей существуют указания, в каком виде искать частное решение.

Если обозначить левую часть как Ly, то решение уравнения $%Ly = e^{2x}\sin(2x) + 2x^2$% распадается на 3 части. $%y = y_1 + y_2 + y_3$%, где $%Ly_1 = 0, Ly_2 = e^{2x}\sin(2x), Ly_3 = 2x^2$%. В двух последних случаях достаточно найти по одному решению, а в первом уравнении - решение в общем виде.
Решение уравнения $%Ly_1 = 0$% определяется корнями характеристического уравнения: $%y_1 = C_1e^{2x}+C_2 \sin 2x + C_3 \cos 2x$%. Здесь первое слагаемое соответствует корню $%v_1$%, а два последних - сопряженным корням $%v_2, v_3$%.

Частное решение $%y_2$% ищем в виде $%e^{2x}(a\sin 2x + b\cos 2x)$%, а $%y_3$% - в виде многочлена второй степени.

ссылка

отвечен 22 Май '12 21:04

изменен 22 Май '12 21:14

т.е., ответ к этой задаче таков: $$y_{0} = C_{1} e^{2x} + C_{2}cos{2x} + C_{3}sin{2x}$$ $$y_{2} = e^{2x}(a_{0}sin{2x} + b_{0}cos{2x})$$ $$y_{3} = C_{1}x + C_{2}x + C_{3}$$

?

(22 Май '12 22:08) tkoff

Ответом будет сумма этих функций при правильно подобранных коэффициентах во второй и третьей строке. Кстати, в третьей строке неудачное обозначение коэффициентов (см. первую строку!). И квадрат забыли!
Пусть $%y_3 = ax^2+bx+c$%, тогда $%Ly_3 = 0 - 2\cdot 2a+4(2ax+b)-8(ax^2+bx+c) =$% $% -8ax^2 +(8a-8b)x -4a +4b-8c$%, что должно совпадать с $%2x^2$%. Отсюда находим, что $%a=-1/4, b = a = -1/4, c = 0$%. Т.е. $%y_3 = -(x^2+x)/4$%

(24 Май '12 22:23) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,746
×753

задан
22 Май '12 20:40

показан
641 раз

обновлен
24 Май '12 22:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru