|
Помогите, пожалуйста, решить $$y''' - 2y'' + 4y' - 8y = e^{2x}\sin(2x) + 2x^2$$ Для начала решаем характеристическое уравнение, у меня получились корни $$v_1=2, v_2,v_3 =\pm 2i$$ После мы должны решить $$y''' - 2y'' + 4y' - 8y = e^{2x}\sin(2x), y''' - 2y'' + 4y' - 8y = 2x^2$$ с получившимися корнями $%v_1, v_2, v_3$%? (И еще: как вставлять уравнения в нормальном виде в вопрос (чтобы была как записанная формула. Прочитал на вики, что используется какая то технология mathml и TeX)?) задан 22 Май '12 20:40 
tkoff |
|
Эта тема поднимается уже не в первый раз. См., например, здесь. Корни характеристического уравнения нужны для построения общего решения однородного уравнения. К ним прибавляется частное решение. В данном случае правая часть специального вида, для таких правых частей существуют указания, в каком виде искать частное решение. Если обозначить левую часть как Ly, то решение уравнения $%Ly = e^{2x}\sin(2x) + 2x^2$% распадается на 3 части. $%y = y_1 + y_2 + y_3$%, где $%Ly_1 = 0, Ly_2 = e^{2x}\sin(2x), Ly_3 = 2x^2$%. В двух последних случаях достаточно найти по одному решению, а в первом уравнении - решение в общем виде. Частное решение $%y_2$% ищем в виде $%e^{2x}(a\sin 2x + b\cos 2x)$%, а $%y_3$% - в виде многочлена второй степени. отвечен 22 Май '12 21:04 
DocentI т.е., ответ к этой задаче таков: $$y_{0} = C_{1} e^{2x} + C_{2}cos{2x} + C_{3}sin{2x}$$ $$y_{2} = e^{2x}(a_{0}sin{2x} + b_{0}cos{2x})$$ $$y_{3} = C_{1}x + C_{2}x + C_{3}$$ ?
(22 Май '12 22:08)
tkoff
Ответом будет сумма этих функций при правильно подобранных коэффициентах во второй и третьей строке. Кстати, в третьей строке неудачное обозначение коэффициентов (см. первую строку!). И квадрат забыли!
(24 Май '12 22:23)
DocentI
|
Ставьте формулы в "долларовые" скобки (см. справку)