1
1

О положительных числах $%a,b,c,d$% известно, что $%a+b+c+d=1$%. Доказать неравенство: $$ab+bc+cd\le \frac{1}{4}$$

задан 7 Фев '15 14:47

10|600 символов нужно символов осталось
2

Выразим $%d$% и подставим: $%ab+bc+c-ac-bc-c^2\le\frac14$%, то есть надо доказать неравенство $%c^2+ac-c+\frac14\ge ab$%, где $%a+b+c < 1$%, и числа $%a$%, $%b$%, $%c$% положительны.

Домножим обе части неравенства $%b < 1-a-c$% на $%a$%. Получится $%ab < a-a^2-ac$%. Теперь достаточно показать, что правая часть последнего неравенства не больше $%c^2+ac-c+\frac14$%. Это верно, поскольку $%a^2+c^2+2ac-a-c+\frac14=(a+c)^2-(a+c)+\frac14=(a+c-\frac12)^2\ge0$%.

Заметим, что итоговое неравенство является строгим.

ссылка

отвечен 7 Фев '15 15:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
7 Фев '15 14:47

показан
410 раз

обновлен
7 Фев '15 15:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru