|
Сумма первых N членов последовательности $%i^{2}$% равна $$\sum_{i=1}^{N}i^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}=\frac{2N^{3}+3N^{2}+N}{6}.$$ Объясните, пожалуйста, как выводится эта формула? задан 7 Фев '15 22:28 
abg |
|
Её можно доказать методом математической индукции. До самого вида формулы можно додуматься, рассматривая небольшие значения $%n$% и отслеживая делители (в первую очередь, простые). Тогда можно догадаться до того, какие сомножители входят в формулу, и потом уже строго всё доказать при помощи матиндукции. Однако можно поступить и по-другому. Есть известная серия формул, имеющих достаточно простой вид: $$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2,$$ $$\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}3,$$ $$\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}4,$$ и так далее. Они легко запоминаются, а доказать их можно или той же индукцией, или при помощи комбинаторики. Зная эти формулы, представляем $%k^2$% в виде $%k(k+1)-k$% и суммируем по отдельности обе вещи. Получается $$\frac{n(n+1)(n+2)}3-\frac{n(n+1)}2=\frac{n(n+1)}6(2(n+2)-3)=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.$$ отвечен 7 Фев '15 23:05 
falcao |
