Сумма первых N членов последовательности $%i^{2}$% равна $$\sum_{i=1}^{N}i^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}=\frac{2N^{3}+3N^{2}+N}{6}.$$

Объясните, пожалуйста, как выводится эта формула?

задан 7 Фев '15 22:28

изменен 7 Фев '15 22:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Её можно доказать методом математической индукции. До самого вида формулы можно додуматься, рассматривая небольшие значения $%n$% и отслеживая делители (в первую очередь, простые). Тогда можно догадаться до того, какие сомножители входят в формулу, и потом уже строго всё доказать при помощи матиндукции.

Однако можно поступить и по-другому. Есть известная серия формул, имеющих достаточно простой вид: $$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2,$$ $$\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}3,$$ $$\sum\limits_{k=1}^nk(k+1)(k+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}4,$$ и так далее. Они легко запоминаются, а доказать их можно или той же индукцией, или при помощи комбинаторики.

Зная эти формулы, представляем $%k^2$% в виде $%k(k+1)-k$% и суммируем по отдельности обе вещи. Получается $$\frac{n(n+1)(n+2)}3-\frac{n(n+1)}2=\frac{n(n+1)}6(2(n+2)-3)=\frac{n(n+1)(2n+1)}6.$$

ссылка

отвечен 7 Фев '15 23:05

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

ссылка

отвечен 7 Фев '15 23:50

Если непонятно, могу перевести

(8 Фев '15 0:08) Роман83

Из какой это книги?

(8 Фев '15 0:08) abg

Сарана "Математичні олімпіади: просте і складне поруч"

(8 Фев '15 0:18) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×298
×100
×96
×17

задан
7 Фев '15 22:28

показан
1799 раз

обновлен
8 Фев '15 0:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru