логика - Люди и бессмертие

Пусть $%P$% - множество людей, $%Hs$% - множество организмов вида Homo sapiens, и $%P \cap Hs \neq \varnothing$%.

Вопрос: Верно ли высказывание «$% \forall x (x \in P \rightarrow \begin {cases} x \in Hs \rightarrow x \ is \ mortal. \\ x \notin Hs \rightarrow x \ is \ immortal. \end {cases}) $%»?

Примечание

$%1. \ $% Высказывание «$% \forall x (x \in P \rightarrow \begin {cases} x \in Hs \rightarrow x \ is \ mortal. \\ x \notin Hs \rightarrow x \ is \ immortal. \end {cases}) $%» похоже на высказывания: $% \ \ \ \ \ \forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow \begin {cases} x < 0 \rightarrow |x| = -x \\ \neg(x < 0) \rightarrow |x| = x \end {cases})$%

$% \ \ \ \ \ \forall k \forall n (k \in \mathbb{Z} \wedge n \in \{0\} \cup \mathbb{N} \rightarrow \begin {cases} 0 \leq k \leq n \rightarrow C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \\ \neg(0 \leq k \leq n) \rightarrow C_n^k = 0 \end {cases})$%

$%2. \ $% По моему мнению, предикат "$% (x \in Hs \rightarrow x \ is \ mortal.) \wedge (x \notin Hs \rightarrow x \ is \ immortal.) $%" равносилен предикату "$% x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal. $%". И если моё мнение верно, тогда можно доказать импликацию

$% \ \ \ \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \rightarrow \begin {cases}\forall x (x \in P \rightarrow x \ is \ mortal.) \leftrightarrow P \subseteq Hs \\ \exists x (x \in P \wedge x \ is \ immortal.) \leftrightarrow P \not \subseteq Hs \\ \exists x (x \in P \wedge x \ is \ immortal.) \leftrightarrow P \setminus Hs \neq \varnothing \\ \exists x (x \in P \wedge x \ is \ mortal.) \leftrightarrow P \cap Hs \neq \varnothing \end {cases}$%

$%3.1 \ $% Высказывание «$% \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.))$%» может быть заключением следующей верной импликации

$% \ \ \ \begin {cases} \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ sinful.)) \\ \forall x (x \in P \rightarrow (x \ is \ sinful. \leftrightarrow x \ is \ mortal.) \end {cases} \Rightarrow \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.))$%

$%3.2 \ $% Также высказывание «$% \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.))$%» может быть заключением следующей верной [дарвинистской] импликации

$% \ \ \ \begin {cases} \forall x (x \in Hs \rightarrow x \ is \ mortal.) \\ P \subseteq Hs \end {cases} \Rightarrow \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.))$%

Чтобы убедиться в этом, заметим следующее:

$%3.2.1 \ \forall x (x \in Hs \rightarrow x \ is \ mortal.) \Rightarrow \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \rightarrow x \ is \ mortal.))$%

$%3.2.2 \ P \subseteq Hs \Rightarrow P \setminus Hs = \varnothing \wedge \forall x (x \ is \ mortal. \rightarrow x \notin \varnothing) \Rightarrow \forall x (x \ is \ mortal. \rightarrow x \notin P \setminus Hs)$%

$% \ \ \ \ \ \Rightarrow \forall x (x \in P \setminus Hs \rightarrow x \ is \ immortal.) \Rightarrow \forall x (x \in P \rightarrow (x \notin Hs \rightarrow x \ is \ immortal.))$%

$%4. \ $% Одно и то же высказывание (например, "Socrates is mortal.") может быть заключением разных верных импликаций.

Примеры

$%(4.1) \ \ Socrates \in P \wedge \forall x (x \in P \rightarrow x \ is \ mortal.) \Rightarrow Socrates \ is \ mortal.$%

$%(4.2) \ \ Socrates \in P \cap Hs \wedge \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow x \ is \ mortal.) \Rightarrow Socrates \ is \ mortal.$%

$%(4.3) \ \ Socrates \in P \cap Hs \wedge \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \Rightarrow Socrates \ is \ mortal. $%

Доказательство (4.1)

$%Socrates \in P \wedge \forall x (x \in P \rightarrow x \ is \ mortal.) $%

$% \Rightarrow Socrtaes \in P \wedge (Socrates \in P \rightarrow Socrates \ is \ mortal.)$%

$% \Leftrightarrow Socrates \in P \wedge Socrates \ is \ mortal.$%

$% \Rightarrow Socrates \ is \ mortal.$%

Доказательство (4.2)

$% Socrates \in P \cap Hs \wedge \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow x \ is \ mortal.)$%

$%\Rightarrow Socrates \in P \cap Hs \wedge (Socrates \in P \cap Hs \rightarrow Socrates \ is \ mortal.)$%

$%\Rightarrow Socrates \ is \ mortal.$%

Доказательство (4.3)

$% Socrates \in P \cap Hs \wedge \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.))$%

$%\Rightarrow Socrates \in P \cap Hs \wedge \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \rightarrow x \ is \ mortal.))$%

$%\Leftrightarrow Socrates \in P \cap Hs \wedge \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow x \ is \ mortal.)$%

$%\Rightarrow Socrates \ is \ mortal.$%