логика - Смертные и бессмертные

Пусть $%P$% - множество людей, $%Hs$% - множество организмов вида Homo sapiens, $%G$% - множество богов.

Вопрос 1: Верно ли высказывание $$ \begin {cases} \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in G \rightarrow x \ is \ immortal.) \end {cases} \rightarrow \begin {cases} \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow x \ is \ mortal.) \\ \forall x (x \in G \cup (P \setminus Hs) \rightarrow x \ is \ immortal.) \end {cases}?$$

Примечание

$%1. \ $% По моему мнению:

$%1.1) \ P \cap Hs \neq \varnothing \ \wedge \ P \setminus Hs \neq \varnothing \ \Rightarrow \ card(Hs) \geq 1 \ \wedge \ card(P) \geq 2$%,

$%1.2.1) \ $%если $%P \cap Hs \neq \varnothing$%, тогда каждый элемент множества $%P \cap Hs \ $% "не хуже, чем" любой элемент множества реальных газов (рациональных чисел, серых и цветных тел, физических маятников, реальных жидкостей, реальных тепловых двигателей, реальных твёрдых тел, ...),

$%1.2.2) \ $%если $%P \setminus Hs \neq \varnothing$%, тогда каждый элемент множества $%P \setminus Hs \ $% "не хуже, чем" любой элемент множества идеальных газов (иррациональных чисел, абсолютно чёрных тел, математических маятников, идеальных несжимаемых жидкостей, тепловых машин Карно, абсолютно твёрдых тел, ...).

$%2. \ $% Высказывание $%\forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow (x \in \mathbb{Q} \leftrightarrow \exists m \exists n (m \in \mathbb{Z} \wedge n \in \mathbb{N} \wedge \mathrm{gcd}(m, n) = 1 \wedge x = \frac{m}{n})))$% похоже на высказывание $%\forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.))$%.

Высказывание $%\forall n (n \in \mathbb{N} \rightarrow (n \in \{1, 2\} \leftrightarrow \exists x \exists y \exists z (\{x, y, z\} \subseteq \mathbb{N} \wedge x^n + y^n = z^n)))$% тоже похоже на высказывание $%\forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.))$%.

$%3. \ $% Пусть $%i$% - мнимая единица. Тогда высказывание

$%(3.1) \ \begin {cases} \forall x (x \in \mathbb{R} \rightarrow (x \in \mathbb{Q} \leftrightarrow \exists m \exists n (m \in \mathbb{Z} \wedge n \in \mathbb{N} \wedge \mathrm{gcd}(m, n) = 1 \wedge x = \frac{m}{n}))) \\ \forall x (x \in \{i\} \rightarrow \forall m \forall n (m \in \mathbb{Z} \wedge n \in \mathbb{N} \wedge \mathrm{gcd}(m, n) = 1 \rightarrow x \neq \frac{m}{n})) \end{cases}$%

похоже на высказывание

$%(3.2) \ \begin {cases} \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in G \rightarrow x \ is \ immortal.) \end {cases} $%.

При этом, с точки зрения логика:

3.1) высказывание $%(3.1)$% "не лучше, чем" высказывание $%(3.2)$%, а высказывание $%(3.2)$% "не лучше, чем" высказывание $%(3.1)$%,

3.2) каждое из высказываний $%(3.1)$% и $%(3.2)$% подобно высказыванию

$%(3.3) \ \begin {cases} \forall x (x \in X \rightarrow (x \in Y \leftrightarrow W[x])) \\ \forall x (x \in Z \rightarrow \neg W[x]) \end {cases}$%.

$%4. \ $% Можно доказать импликации

$% \ \ \ \begin {cases} \forall x (x \in P \rightarrow (x \in Hs \leftrightarrow x \ is \ mortal.)) \\ \forall x (x \in G \rightarrow x \ is \ immortal.) \end {cases} \rightarrow \begin {cases} G \cap P \cap Hs = \varnothing \\ \begin {cases} \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow x \notin G) \\ \forall x (x \in G \cap P \rightarrow x \notin Hs) \\ G \cap P = G \cap (P \setminus Hs) \subseteq G \cup (P \setminus Hs) \end {cases} \end {cases}$%

$%\ \ \ \begin {cases} G \cap P = G \cap (P \setminus Hs) \\ \forall x (x \in G \cup (P \setminus Hs) \rightarrow x \ is \ immortal.) \end {cases} \rightarrow \forall x (x \in G \cap P \rightarrow x \ is \ immortal.)$%