Назовём натуральное число числом Кацечки, если оно минимальное среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Найдите все числа Кацечки, являющиеся точными степенями (квадратами, кубами и т. д.) натуральных чисел.

задан 12 Фев '15 2:13

10|600 символов нужно символов осталось
3

Легко видеть, что речь идёт о числах, у которых первая цифра произвольная, а все остальные -- девятки. Квадратами являются только цифры 1, 4, 9 и ещё число 49. Других нет, так как число, оканчивающееся двумя девятками, при делении на 4 даёт в остатке 3, а квадратов с таким свойством нет.

Остаётся рассмотреть степени с нечётным показателем. Пусть первая цифра числа равна $%a$%, и далее следуют $%k$% девяток. Это значит, что мы имеем дело с числом $%(a+1)\cdot10^k-1$%. Пусть оно равно $%n^m$%, где $%m\ge3$% нечётно. Рассмотрим равенство $%(a+1)\cdot10^k=n^m+1=(n+1)(n^{m-1}-\cdots-n+1)$%. Понятно, что $%n$% нечётно, поэтому второй сомножитель нечётный. Следовательно, $%n+1$% делится на $%2^k$%.

Предположим, что $%m\ge5$%. Тогда $%10^{k+1}\ge(a+1)\cdot10^k=n^m+1\ge(2^k-1)^m+1 > (2^k-1)^5$%. Отсюда $%k=1$% или $%k=2$%, а среди таких чисел (не более, чем трёхзначных) подходящими степенями являются только 32, 128, 512 и 243. Ни одно из них не годится.

Пусть $%m=3$%. Здесь мы имеем $%(a+1)\cdot10^k=n^m+1=(n+1)(n^2-n+1)$%. Второй сомножитель, умноженный на 4, равен $%(2n-1)^2+3$%, и он не делится на 5, так как при делении на 5 квадраты могут давать в остатке только 0, 1 и 4. Значит, $%n+1$% делится ещё и на $%5^k$%, то есть на $%10^k$%. Ясно тогда, что $%k=0$%, и кубом может быть только цифра: 1 или 8. Действительно, из $%n+1\ge10^k$% следует $%n^2-n+1\le a+1\le10$%, откуда $%n < 10$%, то есть $%n+1$% может делиться лишь на $%10^0$%.

Таким образом, получается множество $%\{1;4;8;9;49\}$%.

ссылка

отвечен 12 Фев '15 3:33

1

Круто! Спасибо большое-пребольшое!

(12 Фев '15 4:01) حنين
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,130
×1,077
×338
×229
×209

задан
12 Фев '15 2:13

показан
571 раз

обновлен
12 Фев '15 4:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru