Почему размерность решений дифференциального уравнения линейного, с постоянными коэффициентами равна порядку старшей производной?

задан 30 Дек '11 1:55

перемечен 30 Дек '11 5:08

freopen's gravatar image


9589

10|600 символов нужно символов осталось
1

Линейное уравнение в операторной форме $%Ly=0$%. Его решения образуют векторное пространство (сумма решений, при умножении решения на число получаем снова решение). Задача Коши имеет единственное решение для непрерывных коэффициентов уравнения. Находим решения задач Коши. Например, $%y_1(0)=1$%, а производные до порядка $%(n-1)$% равны $%0$%. Затем эту единицу прогоняем по производным. Получаем систему решений $%y_1,y_2,...y_n$%. Эта система линейно независима и любое решение является линейной комбинацией этих функций. Достаточно записать для произвольного решения $%y(x)$% задачу Коши при $%x=0$%, затем сконструировать из частных решений линейную комбинацию $%\sum{C_ky_k}$%, которая удовлетворяет условиям Коши. На основании единственности решения задачи Коши два решения совпадут, т.е. $%y(x)=\sum{C_ky_k}$%. Таким образом,все $%\{yk\}$% образуют базис пространства решений и размерность этого пространства равна $%n$%. Можно кричать "УРА".

ссылка

отвечен 5 Янв '12 6:59

изменен 5 Янв '12 22:29

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Спасибо, доступно и понятно.

Еще вопрос, почему Задача коши дает единственное решение.

(5 Янв '12 22:13) artem00

Это общая теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения yn=F(x,y,y1,...,y(n-1)) F непрерывна, частные производные по всем переменным от F непрерывны, тогда в области , где это верно , справедлива теорема. Для линйного уравнения,нужно потребовать только непрерывность коэффициентов и an<>0, что на него разделить и выразить старшую производную. Если непонятно, лучше посмотреть в книге. Например, Письменый Курс лекций. Там вся обычная математика

(5 Янв '12 22:25) ValeryB
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно рассуждать так. Линейное дифференциальное уравнение k-ого порядка эквивалентно системе k линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Понятно, что решением последней будут k линейно независимых (определитель Вронского) функций. Но доказательство надо в учебниках искать.

ссылка

отвечен 30 Дек '11 11:53

А по-подробней можно расписать, а то у меня недопонимание.

(30 Дек '11 23:16) artem00

Любое дифференциальное уравнение k-ого порядка можно свести к уже упомянутой системе, и наоборот. Одним из способов решения систем линейных д.у. является как раз-таки сведение к одному уравнению (решение которого при постоянных коэффициентах всегда можно найти). А здесь обратно - переходим к системе. Так проще рассуждать - там явно видно, что решение - функции (по кол-ву их столько же, сколько и уравнений). А так как они линейно независимы, то образуют линейное пространство соответствующей размерности.

(31 Дек '11 0:03) Hedgehog

Кстати, линейные комбинации этих решений - тоже решения системы (доказывается в теории лин. д.у.), и в данном пространстве они являются линейной оболочкой.

(31 Дек '11 0:04) Hedgehog

Или можно так рассуждать. Для каждого лин. д.у. k-ого порядка можно составить характеристическое уравнение. Это - алгебраическое уравнение k-ого порядка (имеет k комплекснозначных в общем случае корней). Каждому корню соответствует решение д.у. Все они между собой опять-таки линейно независимы. Это те же решения, которые получились бы в эквивалентной системе. В качестве общего решения уравнения записывают их произвольную комбинацию (с произвольными постоянными), т.е. линейную оболочку, о которой уже упоминалось.

(31 Дек '11 0:10) Hedgehog

Не меня интересует уравнение задано в виде

$$ a_n\frac{d^{n}y}{dx}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dx}+..+a_1\frac{dy}{dx}+a_0y=0$$

Как его свести к сиcтеме n уравнений 1-го порядка

(31 Дек '11 2:05) artem00

Я о нем и пишу. Эквивалентной системой будет:

$$\begin{cases} a_n\frac{dy_1}{dx}+a_{n-1}y_1+y_2=0;\ \frac{dy_2}{dx}=a_{n-1}y_1+y_3;\ ...\ \frac{dy_{n-1}}{dx}=a_1y_1+y_n;\ \frac{dy_{n}}{dx}=a_0y_1;\ \end{cases}$$

Можете проверить. Последовательно дифференцируя каждое уравнение n-1, n-2, n-3... и, наконец предпоследнее 1 раз, и подставляя последующее в предыдущее, получите исходное уравнение.

(31 Дек '11 14:37) Hedgehog

Или составьте характеристическое уравнение

$$a_nk^n+a_{n-1}k^n-1+...+a_1k+a_0=0$$

И далее - рассуждения, ранее уже приведенные в четвертом комментарии.

(31 Дек '11 14:49) Hedgehog
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×803

задан
30 Дек '11 1:55

показан
1537 раз

обновлен
5 Янв '12 22:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru