Найти все такие пары натуральных чисел $%m$% и $%n$%, для каких выполняется равенство $$14^n=13 \cdot m^n+1.$$

задан 12 Фев '15 15:34

изменен 12 Фев '15 20:05

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1;1. Позже напишу доказательство

(12 Фев '15 16:29) Lyudmyla
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%m$% - нечетное (очевидно). Первый случай $%n=1, m=1$% - подходит, пусть $%n \neq 1$% . Рассмотрим 2 случая.

1) Пусть $%n$% - четное, $%n=2k, k>1$%.
Рассмотрим уравнение $%14^{2k}=13\cdot m^{2k}+1$% с точки зрения делимости на $%3$%.
$%14^2=196$% дает остаток $%1$%, тогда $%14^{2k}$% тоже дает остаток $%1$%: равенство возможно только когда $%13\cdot m^{2k}$% дает остаток $%0$%, это возможно лишь тогда, когда $%m^{2k}$% делится на три, т.е. $%m$% имеет вид $%m=3t$%. Тогда уравнение имеет вид $%14^{2k}=13\cdot 3^{2k}\cdot t^{2k}+1$%. Правая часть при делении на девять дает остаток $%1$%, исследуем левую (показaтель четный): $%14^2=196$% остаток $%7$% или $%(-2)$%; $%14^4$% остаток $%(-2)^2=4$%; $%14^6=(-2)^3=-8$% остаток $%1$%; откуда $%14^{6s}$% дает остаток один, следовательно нам подходит случай, когда $%2k=6s$%, имеем уравнение $%14^{6s}=13\cdot 3^{6s}\cdot t^{6s}+1, s$% натуральное. Нетрудно увидеть, что левая часть делится на четыре; проверим, может ли правая делится на четыре. $%13$% дает остаток $%1$%; $%3^2=9$% дает остаток один, $%3^{6s}$% дает остаток один, $%t$% нечетное (иначе $%m$% - четное), тогда $%t_1=4a-1$%,$%t_2=4a+1$%, возводим в квадрат, остаток при делении на четыре равен один. А тогда вся правая часть дает остаток два.
Невозможно.

2) Пусть $%n$% - нечетное, $%n=2k+1, k>1$%. Тогда уравнение имеет вид $%14^{2k+1}=13\cdot m^{2k+1}+1$%. $%m$% - нечетное, используем делимость на восемь. Левая часть делится на 8, пусть $%m_1=8v-3, m_2=8v-1, m_3=8v+1, m_4=8v+3$%. Тогда $%m_i^{2}$% при делении на восемь дает остаток $%1$%, $%m_i^{2k}$% - остаток $%1$%, а в нечетной степени соответственно даст остаток $%-3;-1;1;3$%. Подставляем остатки в уравнение - подходит только $%m=8v+3$%. Уравнение получает вид $%14^{2k+1}=13\cdot (8v+3)^{2k+1}+1$%. Из оценки левой и правой части получаем ограничения для $%v$% $%v_1=0; v_2=1$% (в обоих случаях решений нет).
Ответ 1; 1.

ссылка

отвечен 12 Фев '15 18:50

изменен 12 Фев '15 20:09

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Lyudmyla: случай $%v=1$% в конце, приводящий к уравнению $%14^{2k+1}=13\cdot11^{2k+1}+1$%, на мой взгляд, заслуживает разбора. То, что при этом нет решений, несколько неочевидно.

(12 Фев '15 19:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если $%m\ge14$%, то правая часть больше левой. Следовательно, $%m\le13$%. При $%n=1$% получается $%m=1$%, что даёт одно решение. Поэтому будем далее считать, что $%n > 1$%, а также $%m > 1$%.

Из уравнения в условии легко следует, что $%m^n=1+14+\cdots+14^{n-1}$%. В правой части все слагаемые кроме двух первых делятся на 4, поэтому с учётом $%n > 1$% правая часть даёт в остатке 3 при делении на 4. Такое число не является полным квадратом, то есть $%n$% нечётно. Очевидно также, что $%m$% нечётно, а из рассмотрения остатков от деления на 3, 5 и 7 правой части ясно, что $%m$% не делится ни на 3, ни на 5, ни на 7. Поэтому для $%m$% остаются только варианты $%m=11$% и $%m=13$%. Первый из них анализируется по модулю 9, а второй по модулю 4.

ссылка

отвечен 12 Фев '15 20:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×159

задан
12 Фев '15 15:34

показан
636 раз

обновлен
12 Фев '15 20:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru