логика - Отношение порядка между бессмертными

Пусть:

1) $%G$% - множество богов, $%P$% - множество людей, $%Hs$% - множество организмов вида Homo sapiens,

2) $% \begin {cases} \varnothing \notin \{G, \ P \cap Hs, \ P \setminus Hs\} \\ \\ \forall x (x \in P \cap Hs \rightarrow x \ is \ mortal.) \\ \forall x (x \in G \cup (P \setminus Hs) \rightarrow x \ is \ immortal.) \\ \\ card(G) = card(P \setminus Hs) \ \oplus \ card(G) \neq card(P \setminus Hs) \\ card(G) \neq card(P \setminus Hs) \ \rightarrow \ card(G) < card(P \setminus Hs) \oplus card(G) > card(P \setminus Hs) \end {cases} $%

3) $%card(G)$% - мощность множества богов, $%card(P \setminus Hs)$% - мощность множества бессмертных людей.

Вопросы:

$%1. \ $% Верно ли, что мощность множества богов $%G$% отличается от мощности множества бессмертных людей $%P \setminus Hs$%?

$%1.1 \ $% Верно ли, что мощность множества богов $%G$% меньше, чем мощность множества бессмертных людей $%P \setminus Hs$%, если мощность множества богов $%G$% отличается от мощности множества бессмертных людей $%P \setminus Hs$%?.

$%1.2 \ $% Верно ли, что мощность множества богов $%G$% больше, чем мощность множества бессмертных людей $%P \setminus Hs$%, если мощность множества богов $%G$% отличается от мощности множества бессмертных людей $%P \setminus Hs$%?.

$%2. \ $% Верно ли, что нет нужды отвечать на вопросы (1.1) и (1.2), если постулировать, что мощность множества богов не отличается от мощности множества бессмертных людей?

Примечание

$%1. \ $% Предложение «A $%\oplus$% B» следует понимать как предложение «А, либо В».

$%2. \ $% У меня нет оснований считать, что мощность множества богов отличается от мощности множества бессмертных людей. Поэтому, по моему мнению, $%card(G) = card(P \setminus Hs)$%.

Вместе с тем, мне будет интересно узнать мнение тех, кто полагает, что $%card(G) \neq card(P \setminus Hs)$%.

Пример [мнения гипотетического теиста-дарвиниста]

$%G \neq \varnothing \wedge P \subseteq Hs \Rightarrow G \neq \varnothing \wedge P \setminus Hs = \varnothing \Rightarrow card(G) \geq 1 \wedge 0 = card(P \setminus Hs)$%

$% \Rightarrow card(G) > card (P \setminus Hs) \Rightarrow card(G) \neq card (P \setminus Hs) $%

Любопытные наблюдения

$%1. \ $% По мнению атеистов-дарвинистов, $%card(G) = card(P \setminus Hs)$%. В самом деле, $$G = \varnothing \wedge P \subseteq Hs \Rightarrow G = \varnothing \wedge P \setminus Hs = \varnothing \Rightarrow G = P \setminus Hs \Rightarrow card(G) = card(P \setminus Hs) $$

$%2. \ $% Если $%G \neq \varnothing$%, тогда высказывание «$%card(G) = card(P \setminus Hs)$%» равносильно высказыванию о существовании как минимум одного биективного отображения из множества $%G$% во множество $%P \setminus Hs$%. Иначе говоря,

$$ card(G) = card(P \setminus Hs) \ \Leftrightarrow \ \exists^{\geq \ 1} \mathrm{f} (\mathrm{f}: G \mapsto P \setminus Hs \ \wedge \ \mathrm{f} \ is \ bijective.)$$

$%3. \ $% Если $%card(G)$% - натуральное число $%n$%, и $%card(G) = card(P \setminus Hs)$%, тогда число биекций множества $%G$% во множество $%P \setminus Hs$% равно $%n!$%. Иначе говоря, $$card(G) = n \wedge n \in \mathbb{N} \wedge card(G) = card(P \setminus Hs) \Rightarrow \exists^{= \ n!} \mathrm{f} (\mathrm{f}: G \mapsto P \setminus Hs \ \wedge \ \mathrm{f} \ is \ bijective.) $$