Докажите, что множество рациональных чисел, меньших $%e$%, разрешимо.

задан 13 Фев '15 11:02

изменен 13 Фев '15 12:34

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку $%e=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\cdots+\frac1{n!}+\cdots$%, существует довольно простой алгоритм проверки неравенства вида $%\frac{m}n < e$%, где $%m$% и $%n$% -- натуральные числа (для не положительных рациональных чисел неравенство всегда верно).

Домножим $%e$% на $%n!$%; получится $%n!e=(n!+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\cdots+\frac{n!}{n!})+\alpha_n$%, где $%\alpha_n=\frac1{n+1}+\frac1{(n+1)(n+2)}+\cdots$%, где число, взятое в скобки, является натуральным. Для остаточного члена $%\alpha_n$% имеет место следующая несложная оценка: $%\alpha_n < \frac1{n+1}+\frac1{(n+1)^2}+\cdots=\frac{\frac1{n+1}}{1-\frac1{n+1}}=\frac1n\le1$% с учётом формулы суммирования бесконечной геометрической прогрессии. В частности, $%\alpha_n\in(0;1)$% есть дробная часть $%n!e$%. Отсюда заодно следует, что $%e$% иррационально, поскольку число $%ne$% не является целым ни для какого натурального $%n$%.

Итак, то неравенство, справедливость которого мы выясняем, равносильно $%m(n-1)! < n!e$%, то есть $%m(n-1)!\le[n!e]=n!+\frac{n!}{1!}+\frac{n!}{2!}+\cdots+\frac{n!}{n!}$%, что проверяется посредством прямого подсчёта.

Для примера: неравенство $%\frac83 < e$% верно, поскольку $%8\cdot2!=16$%, и $%[3!e]=6+6+3+1=16$%.

ссылка

отвечен 13 Фев '15 13:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

Доброе утро!

(N+1)(n+1)<(n+1)(n+2). Скажите, пожалуйста, почему Ваша оценка ряда сверху верная в таком случае?

ссылка

отвечен 16 Ноя '17 11:31

изменен 16 Ноя '17 12:33

@alesan: а что это за случай такой странный? У Вас написано, что n+1 в степени n+1 меньше произведения n+1 на n+2. Это равносильно тому, что (n+1)^n < n+2, что верно лишь при n=1.

Ряд там получается такой: 1/(n+1)+1/((n+1)(n+2))+... . Я заменяю все n+2, n+3, ... на меньшую величину n+1. Сумма ряда при этом увеличивается, и получается оценка в виде геометрической прогрессии.

(16 Ноя '17 12:17) falcao

@alesan: сейчас неравенство исправлено на верное. Не знаю, в чём именно состоит суть вопроса, но напоминаю, что если для положительных величин верно неравенство a < b, для обратных величин верно неравенство 1/a > 1/b с обратным знаком. Понятно, что 2 < 3, но 1/2 > 1/3. Здесь мы из верного неравенства, которое написано, получаем, что 1/(n+1)^2 больше, чем 1/((n+1)(n+2)), то есть 1/((n+1)(n+2)) меньше, чем 1/(n+1)^2. Именно в такой форме оценка и используется.

(16 Ноя '17 12:52) falcao

Большое Вам спасибо. Прошу прощения за мою невнимательность.

(16 Ноя '17 13:32) alesan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,469

задан
13 Фев '15 11:02

показан
1559 раз

обновлен
16 Ноя '17 13:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru