Есть рекуррентное соотношение $%F_n(x)=2F_{n-1}(x)+F_{n-2}(x)+x$%, $%F_0(x)=1$%, $%F_1(x)=0$%. Требуется найти $%\frac {dF_n(x)}{dx}$%.

задан 13 Фев '15 15:14

изменен 13 Фев '15 15:58

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для производных будет выполнено равенство $%F_n'(x)=2F_{n-1}'(x)+F_{n-2}'(x)+1$%, где начальные значения равны нулю. Получается такая последовательность: 0, 0, 1, 3, 8, 20, 49, ... . Общую формулу можно найти стандартным способом, заметив, что последовательность $%g_n=F_n'(x)+\frac12$% удовлетворяет однородному рекуррентному уравнению $%g_n=2g_{n-1}+g_{n-2}$%. Характеристическое уравнение имеет вид $%\lambda^2-2\lambda-1=0$%; его корни равны $%\lambda_1=1+\sqrt2$% и $%\lambda_2=1-\sqrt2$%. Общий член имеет вид $%g_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n$%, где константы находятся с учётом начальных условий $%g_0=g_1=\frac12$%. Легко видеть, что $%C_1=C_2=\frac14$%, откуда $$F_n'(x)=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}4-\frac12.$$

Заметим, что все рассматриваемые функции линейны, поэтому производные от $%x$% не зависят.

ссылка

отвечен 13 Фев '15 15:51

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,851
×332
×48

задан
13 Фев '15 15:14

показан
493 раза

обновлен
13 Фев '15 15:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru