|
Как быть, если не удается по критерию Сильвестра установить наличие достаточного условия экстремума (соответствующий определитель равен 0). Может быть, здесь есть аналог исследования функции с помощью старших производных, как в случае функции одной переменной? задан 24 Май '12 16:26 
Hedgehog |
|
Предыдущий ответ был неверным (отвечал не на тот вопрос). Я его удалила. В случае, когда второй дифференциал является полуопределенной формой, функция может иметь любой вид: экстремум, седло и другие варианты поведения. Использование дифференциалов более высокого порядка позволяет представить функцию в главном с помощью многочлена. Если он не очень высокой степени, по его коэффициентам можно исследовать поведение функции (в каждом случае отдельно, как показал в своем комментарии @Андрей Юрьевич) отвечен 24 Май '12 23:56 
DocentI 1
Насколько я понял, речь идет не о случае равенства нулю второго дифференциала, а о более общем случае - о вырожденности матрицы Гессе. Например, у функций $%f=x^2+y^3 $% и $%f=x^2+y^4 $% второй дифференциал в нуле равен $%2dx^2$%, а вовсе не нулю, и именно такого типа функции требуется исследовать. Если же снять требование равенства нулю второго дифференциала (слишком, кстати, жесткое), то утверждение опровергается, например, функцией $%f=x^2+x^3+y^4 $%
(25 Май '12 14:40)
Андрей Юрьевич
Согласна, я невнимательно читала вопрос! Может, удалить свой ответ? Только сохранить Ваши комментарии.
(25 Май '12 22:32)
DocentI
|
|
Просматривается такая схема исследования. Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности исследуемой стационарной точки $%(x_0,y_0)$%, $%f(x_0+dx,y_0+dy)=\sum_{k,p}a_{kp}(dx)^k(dy)^p $% и отбросим все члены, кроме старших, т.е. удовлетворяющих условиям $%k=min, \; p=min, \; k+p=min $%. Эти условия нужно понимать в смысле Парето, поэтому количество оставленных слагаемых может быть от 1 до 3. Далее для функции двух переменных будет удобно перейти в полярную систему координат относительно дифференциалов, т.е. сделать замену переменных $%dx=d\rho \cdot cos(\varphi), \; dy=d\rho \cdot sin(\varphi) $% и исследовать полученный тригонометрический многочлен на постоянство знака: если при всех $%\varphi$% знак сохраняется - экстремум, если нет, то нет. отвечен 26 Май '12 14:05 
Андрей Юрьевич |