численные-методы - RK4 при известной i-й производной

Здравствуйте!

Везде, где я читал про метод Рунге-Кутты, используются примеры, где мы считаем функцию $% f(t)$%, умея вычислять первую производную $% f'(t, f(t)) $% по времени и текущему значению функции. Но я не могу понять, как быть, когда известна i-я производная?

Пусть на $% n $%-м шаге мы знаем значения $% t_n $%, $% f $%, $% f' $%, ..., $% f^{(i)} $%. Плюс мы можем вычислить $% f^{(i)}(t, f, f', \dots, f^{(i)}) $%. Как тогда вычислять остальные производные на ($% n+1 $%)-м шаге? Мы ведь не можем просто сказать, что $% f^{(i - 1)} = f^{(i)} \cdot dt $%, иначе теряется сам смысл метода! Можно подойти с другой стороны: чтобы посчитать $% f $%, 4 раза посчитаем $% f' $%, чтобы посчитать $% f' $%, 4 раза посчитаем $% f'' $% и т.д. Так понадобится вычислить $% f^{(i)} $% целых $% 4^i $% раза, что тоже убивает смысл метода.