Дан равнобедренный треугольник $%ABC$% с основанием $%AC = 4$%. Радиус окружности, которая касается основания $%AC$% и касается продолжения сторон $%BA$% и $%BC$%, равен $%4$%. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник $%ABC$%, и боковую сторону.

задан 15 Фев '15 1:38

изменен 15 Фев '15 13:21

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%O$% -- центр окружности из условия, $%D$% -- середина $%AC$%, $%E$% -- точка касания окружности с прямой $%BA$%. Пусть длина боковой стороны равна $%x$%. Тогда $%BE=BA+AE=x+AD=x+2$% с учётом равенства отрезков касательной.

Прямоугольные треугольники $%BAD$% и $%BOE$% с одинаковым острым углом подобны. При этом $%AD:OE=1:2$%, поэтому $%BD=\frac12BA=\frac{x}2+1$%. Применяя теорему Пифагора к треугольнику $%BAD$%, имеем $%x^2=(\frac{x}2+1)^2+2^2$%. Решаем квадратное уравнение, находя положительный корень $%x=\frac{10}3$%. Это боковая сторона. Отсюда высота равнобедренного треугольника равна $%\frac{x}2+1=\frac83$%, и площадь равна $%S=\frac{16}3$%. Полупериметр $%p=x+2=\frac{16}3$%, и тогда радиус вписанной окружности равен $%r=S/p=1$%.

ссылка

отвечен 15 Фев '15 2:04

А откуда вы взяли, что $%AD=AE$% ("$%BE=BA+AE=x+AD=x+2$%"), ведь $%D$% это середина основания и вовсе не обязательно точка касания основания с окружностью (а значит равенство отрезков касательной нельзя использовать)?

(15 Фев '15 19:18) eliza1111
1

@nina1111: Из соображения симметрии окружность касается основания в середине - точке $%D$%.

(15 Фев '15 19:48) EdwardTurJ

@nina1111: при рассмотрении симметричных фигур такого рода свойства обычно полагаются очевидными.

(15 Фев '15 22:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,555
×229

задан
15 Фев '15 1:38

показан
607 раз

обновлен
15 Фев '15 22:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru