3
1

Для неотрицательных $%a,b$% и $%c$% доказать неравенство $$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge9(ab+bc+ca).$$

задан 15 Фев '15 14:45

10|600 символов нужно символов осталось
3

Докажем более сильное неравенство $$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge3(a+b+c)^2.$$ Запишем его в таком виде $$a^2b^2c^2+2((ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2)+a^2+b^2+c^2+2\ge2(ab+bc+ca).$$ Достаточно доказать, что $$a^2b^2c^2+a^2+b^2+c^2+2\ge2(ab+bc+ca).$$ Запишем последнее неравенство как квадратное относительно $%a$%: $$a^2(b^2c^2+1)-2a(b+c)+b^2+c^2-2bc+2\ge0.$$ Поскольку $%b^2c^2+1>0$% и $%b^2+c^2-2bc+2>0$%, то нужно доказать, что дискриминант неположительный. $$D=(b+c)^2-(b^2c^2+1)(b^2+c^2-2bc+2)=-b^2c^2(b-c)^2-2(bc-1)^2\le0.$$ Из решения видно, что равенство достигается только при $%a=b=c=1$%.

ссылка

отвечен 16 Фев '15 23:18

@EdwardTurJ: я до какого-то момента шёл примерно этим же путём, но до группировки, позволяющей отбросить несколько слагаемых, не догадался (хотя пробовал некоторые другие способы). В целом это не слишком простая задача, хотя она хорошая.

(16 Фев '15 23:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
15 Фев '15 14:45

показан
3733 раза

обновлен
16 Фев '15 23:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru