$$\lim\limits_{x \to 1+0}(x-1)^{\ln x}$$

задан 15 Фев '15 23:04

изменен 15 Фев '15 23:50

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сначала сделаем замену: $$\lim_{x\to 1+0}{(x-1)^{\ln{x}}}= \left\vert \matrix{t=x-1 \\ x=t+1} \right\vert = \lim_{t\to 0+}{t^{\ln(1+t)}}.$$ Обозначим $$y(t)=t^{\ln(1+t)}.$$ Тогда, логарифмируя, получим $$\ln{y(t)}=\ln{t}\ln{(1+t)}=\dfrac{\ln{(1+t)}}{\frac{1}{\ln{t}}}$$ Используем правило Лопиталя $$\lim_{t\to 0+}{\ln{y(t)}}=\lim_{t\to 0+}{\dfrac{\ln{(1+t)}}{\frac{1}{\ln{t}}}}=\lim_{t\to 0+}{\dfrac{\frac{1}{1+t}}{-\frac{1}{t\ln^2{t}}}}=-\lim_{t\to 0+}{\dfrac{t\ln^2{t}}{1+t}}.$$ Чтобы найти предел числителя, снова используем дважды правило Лопиталя $$\lim_{t\to 0+}{t\ln^2{t}}=\lim_{t\to 0+}{\dfrac{{\ln^2{t}}}{\frac{1}{t}}}=\lim_{t\to 0+}{\dfrac{{2\ln{t}\cdot\frac{1}{t}}}{-\frac{1}{t^2}}}=-2\lim_{t\to 0+}{t\ln{t}}= \\ =-2\lim_{t\to 0+}{\dfrac{\ln{t}}{\frac{1}{t}}}=-2\lim_{t\to 0+}{\dfrac{\frac{1}{t}}{-\frac{1}{t^2}}}=0.$$ Поэтому $$\lim_{t\to 0+}{\ln{y(t)}}=0,$$ значит, $$\lim_{t\to 0+}{t^{\ln(1+t)}}=1.$$

ссылка

отвечен 15 Фев '15 23:55

изменен 15 Фев '15 23:55

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $%t=\ln x\to0+0$%. Тогда $%x=e^t$%, и получается $%(e^t-1)^t$%. После логарифмирования получится $%t\ln(e^t-1)$%. Можно записать $%e^t-1$% в виде частного: $%t\cdot\frac{e^t-1}{t}$%, где $%\frac{e^t-1}{t}\to1$% (это производная функции $%e^t$% в нуле). Отсюда $%t\ln(e^t-1)=t\ln t+t\ln\frac{e^t-1}t$%, где второе слагаемое стремится к нулю. Предел первого слагаемого, что есть $%t\ln t$%, можно найти при помощи правила Лопиталя; см. пример 4 здесь. Значение этого предела равно нулю.

Таким образом, у нас получилось, что логарифм предела из условия задачи равен нулю, поэтому в ответе будет $%e^0=1$%.

ссылка

отвечен 15 Фев '15 23:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,299
×3,140
×1,691

задан
15 Фев '15 23:04

показан
692 раза

обновлен
15 Фев '15 23:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru