математика - Построить базис множества векторов из $%R^{2m}$%, являющихся решениями системы линейных уравнений

Здесь всё достаточно просто, хотя требует некоторых вычислений.

Из первого уравнения выражаем $%X_1$% через остальные неизвестные, и подставляем это выражение вместо $%X_1$% во второе уравнение. После приведения подобных членов получается уравнение от $%X_2$%, ... , $%X_{2m}$%. Берём переменную, коэффициент при которой не равен нулю (обычно это оказывается $%X_2$%). Выражаем эту переменную (пусть это $%X_2$%) через $%X_3$%, ... , $%X_{2m}$%. После чего в первое равенство, в котором $%X_1$% выражается через $%X_2$%, ... , $%X_{2m}$%, подставляем в правую часть то, чему равно $%X_2$%. После упрощений $%X_1$% выразится через $%X_3$%, ... , $%X_{2m}$%.

Общее решение системы имеет вид $%(X_1,\ldots,X_{2m})$%, и первые две координаты заменяем на те выражения, которые при этом получились. Далее этот вектор раскладываем по переменным $%X_3$%, ... , $%X_{2m}$%, при которых будут возникать векторы с числовыми координатами. Именно они и будут образовывать базис пространства $%L$%. Размерность $%L$% равна числу векторов базиса, то есть $%m-2$%.

Для примера: если получилось $%X_1=3X_3-X_4+2X_6$% и $%X_2=-4X_3+X_4+X_5-5X_6$%, то общее решение имеет вид $%(3X_3-X_4+2X_6,-4X_3+X_4+X_5-5X_6,X_3,X_4,X_5,X_6)$%, то есть $%X_3(3;-4;1;0;0;0)+X_4(-1;1;0;1;0;0)+X_5(0;1;0;0;1;0)+X_6(2;-5;0;0;0;1)$%. Базис (из 4-х векторов) образуют векторы при свободных неизвестных, которые могут независимо принимать любые значения.

Это всё есть в учебниках и задачниках: однородные системы; фундаментальная система решений.