Найти решение операторного уравнения: $$x(t) + λAx(t) = y(t)$$, где $$λ ∈ R, y ∈ C[0, 2π]$$заданы, оператор: $$A: L^2 (0, 2π) → L^2 (0, 2π), Ax(t) = \int^{2π}_{0}\ sin(t+s)x(s)ds$$

задан 18 Фев '15 19:21

изменен 18 Фев '15 19:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Перепишем уравнение в виде $$x(t)+\lambda\sin t\int\limits_0^{2\pi}\cos s x(s)ds+\lambda\cos t\int\limits_0^{2\pi}\sin s x(s)ds=y(t).$$ Если обозначить $%\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\cos s x(s)ds=-c_1$%, а $%\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}\sin s x(s)ds=-c_2$%, то получим, что решение уравнения обязано иметь вид $%x(t)=y(t)+\lambda c_1\sin t+\lambda c_2\cos t$%. Теперь умножим этот вид поочерёдно сперва на $%\cos t$%, потом на $%\sin t$% и проинтегрируем полученные равенства по отрезку $%[0,2\pi]$%:$$\int\limits_0^{2\pi}x(\tau)\cos\tau d\tau=\int\limits_0^{2\pi}y(\tau)\cos\tau d\tau+\lambda c_2\pi$$$$\int\limits_0^{2\pi}x(\tau)\sin\tau d\tau=\int\limits_0^{2\pi}y(\tau)\sin\tau d\tau+\lambda c_1\pi.$$ Таким образом, приходим к системе $%\begin{cases}c_1+\lambda c_2\pi=-\displaystyle\int\limits_0^{2\pi}y(\tau)\cos\tau d\tau \\\lambda c_1\pi+c_2=- \displaystyle\int\limits_0^{2\pi}y(\tau)\sin\tau d\tau\end{cases}$%. Определитель матрицы системы равен $%1-\lambda^2\pi^2$%, из чего следует, что система имеет единственное решение при условии $%\lambda\ne\pm\frac{1}{\pi}$%. Решение это можно найти, к примеру по формулам Крамера, после чего останется подставить найденные постоянные в общий вид решения.

ссылка

отвечен 11 Апр 16:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×444

задан
18 Фев '15 19:21

показан
246 раз

обновлен
11 Апр 16:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru