|
$$x^{2}(y' + 2xy) = y^{2} (1 + 2x^{2})$$ Решение: 1) Делим на $${y^{2}}$$ 2)заменяем $$ z = {1/y}$$ 3)Получаем уравнение $$-\frac{1}{2}\times\frac{dz}{dx} + 2xz = -\frac{1+2x^{2}}{x^{2}}$$ Не могу понять, правильно ли это( И что дальше делать? Делить на 1/2 и решать как линейное уравнение? задан 24 Май '12 21:32 
tkoff |
|
После замены $%1/y = z$% получаем уравнение $%-z' + 2xz = 1/x^2 + 2$%. Оно, конечно, линейное. Решение однородного позволяет записать решение уравнения в виде $%z = u(x)e^{x^2}$%. Для u получаем $%u' = -e^{-x^2}(2 + 1/x^2)$%. Впрочем, можно просто найти частное решение в виде $%z_1 = b/x$%, что дает b = 1. отвечен 24 Май '12 23:23 
DocentI Docenti, спасибо вам, вы который раз спасаете мне жизнь! =) u и u' подставляем в исходное уравнение с z, что можем сокращаем и полученное решение подставляем вместо 1/y, так?
(24 Май '12 23:45)
tkoff
У Вас, видимо, 9 жизней, как у кошки! Зачем подставлять u'? Его надо просто проинтегрировать. Но интегрируется оно плохо. Лучше искать решение в виде суммы $%z = Ce^{x^2}+z_0$%, где $%z_0=b/x$%. Подставляя $%z_0$% в уравнение для z получаем, что b = 1, т.е. $%z = Ce^{x^2}+1/x$%. Ну, а y = 1/z.
(25 Май '12 0:20)
DocentI
|
Откуда 1/2? И почему справа минус?
В учебнике формула $$\frac{1}{1-A}\times\frac{dz}{dx}+a(x)z = b(x)z$$, где A - степень y с правой стороны
оттуда и плясал
Просто поделим уравнение на $%x^2$% и $%y^2$%, получим, что $%{y'\over y^2}+{2x\over y}={1\over x^2} + 2$%. Но $%{y'\over y^2}= - ({1\over y})'$%, так что замена $%z = 1/y$% напрашивается сама собой.