$$x^{2}(y' + 2xy) = y^{2} (1 + 2x^{2})$$ Решение: 1) Делим на $${y^{2}}$$ 2)заменяем $$ z = {1/y}$$ 3)Получаем уравнение $$-\frac{1}{2}\times\frac{dz}{dx} + 2xz = -\frac{1+2x^{2}}{x^{2}}$$ Не могу понять, правильно ли это( И что дальше делать? Делить на 1/2 и решать как линейное уравнение?

задан 24 Май '12 21:32

Откуда 1/2? И почему справа минус?

(24 Май '12 23:12) DocentI

В учебнике формула $$\frac{1}{1-A}\times\frac{dz}{dx}+a(x)z = b(x)z$$, где A - степень y с правой стороны

оттуда и плясал

(24 Май '12 23:41) tkoff

Просто поделим уравнение на $%x^2$% и $%y^2$%, получим, что $%{y'\over y^2}+{2x\over y}={1\over x^2} + 2$%. Но $%{y'\over y^2}= - ({1\over y})'$%, так что замена $%z = 1/y$% напрашивается сама собой.

(25 Май '12 0:23) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

После замены $%1/y = z$% получаем уравнение $%-z' + 2xz = 1/x^2 + 2$%. Оно, конечно, линейное. Решение однородного позволяет записать решение уравнения в виде $%z = u(x)e^{x^2}$%. Для u получаем $%u' = -e^{-x^2}(2 + 1/x^2)$%. Впрочем, можно просто найти частное решение в виде $%z_1 = b/x$%, что дает b = 1.

ссылка

отвечен 24 Май '12 23:23

Docenti, спасибо вам, вы который раз спасаете мне жизнь! =)

u и u' подставляем в исходное уравнение с z, что можем сокращаем и полученное решение подставляем вместо 1/y, так?

(24 Май '12 23:45) tkoff

У Вас, видимо, 9 жизней, как у кошки!

Зачем подставлять u'? Его надо просто проинтегрировать. Но интегрируется оно плохо. Лучше искать решение в виде суммы $%z = Ce^{x^2}+z_0$%, где $%z_0=b/x$%. Подставляя $%z_0$% в уравнение для z получаем, что b = 1, т.е. $%z = Ce^{x^2}+1/x$%. Ну, а y = 1/z.

(25 Май '12 0:20) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×732

задан
24 Май '12 21:32

показан
1050 раз

обновлен
26 Май '12 1:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru