Является ли множество функций $$x_n(t) = sin(t + n), t ∈ [0, 1]$$ вполне ограниченным в C[0, 1]

задан 18 Фев '15 20:35

изменен 18 Фев '15 20:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для функций, непрерывных на компакте, имеется критерий предкомпактности (теорема Арцела - Асколи). Все рассматриваемые функции равномерно ограничены: $%|x_n(t|\le C$% при всех $%n$% и $%t$% для $%C=1$%. Кроме того, они равностепенно непрерывны, так как для любых $%s,t\in[0;1]$% и произвольного $%n$% имеет место оценка $%|x_n(t)-x_n(s)|=|\sin(t+n)-\sin(s+n)|=2|\sin(\frac{t-s}2)|\cdot|\cos(\frac{t+s}2+n)|\le|t-s|$%. Тогда, полагая $%\delta=\varepsilon$%, мы имеем $%|x_n(t)-x_n(s)| < \varepsilon$% при $%|t-s| < \delta$%.

Таким образом, рассматриваемое множество функций предкомпактно, то есть вполне ограничено (для метрических пространств эти свойства означают одно и то же).

ссылка

отвечен 19 Фев '15 9:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×386

задан
18 Фев '15 20:35

показан
493 раза

обновлен
19 Фев '15 11:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru