функциональный-анализ - Является ли множество функций вполне ограниченным

Для функций, непрерывных на компакте, имеется критерий предкомпактности (теорема Арцела - Асколи). Все рассматриваемые функции равномерно ограничены: $%|x_n(t|\le C$% при всех $%n$% и $%t$% для $%C=1$%. Кроме того, они равностепенно непрерывны, так как для любых $%s,t\in[0;1]$% и произвольного $%n$% имеет место оценка $%|x_n(t)-x_n(s)|=|\sin(t+n)-\sin(s+n)|=2|\sin(\frac{t-s}2)|\cdot|\cos(\frac{t+s}2+n)|\le|t-s|$%. Тогда, полагая $%\delta=\varepsilon$%, мы имеем $%|x_n(t)-x_n(s)| < \varepsilon$% при $%|t-s| < \delta$%.

Таким образом, рассматриваемое множество функций предкомпактно, то есть вполне ограничено (для метрических пространств эти свойства означают одно и то же).