Как вычислить работу векторного поля при движении материальной точки по заданному пути?
Поле: $%(2a-y)i+(y-a)j$%
Путь: $%x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t), 0\le t\le 2\pi.$%
Заранее благодарна.

задан 25 Май '12 0:29

изменен 25 Май '12 14:58

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
2

Работа поля (P, Q) вдоль пути C равна интегралу $%\int_C(Pdx+Qdy)$%. Выразите x, y, dx, dy через dt, подставьте в интеграл и проинтегрируйте на промежутке $%[0, 2\pi]$%

Здесь P = 2a - y, Q = y - a.

Дополнение. Показываю подробнее.

$$\int_C((2a-y)dx+(y-a)dy) = 2a\int_Cdx -\int_Cydx+\int_C(y-a)dy.$$

Первый и третий интегралы можно подсчитать через первообразную:
$$I_1=(2a\cdot x) \Big|_{t=0}^{t=2\pi}=2a(x(2\pi)-x(0))=2a(2\pi a - 0)=4\pi a^2$$

$$I_3=(y^2/2-ay) {\Big|}_{t=0}^{t=2\pi}=0$$
Второй интеграл нельзя взять через первообразную, поэтому считаем его с помощью перехода к параметру t:
$$\int_Cydx =\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)d(a(t-\sin t))=\int_0^{2\pi}a(1-\cos t)a(1-\cos t)dt=a^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2dt$$ Последний интеграл считайте сами. Учтите, что интеграл от косинуса по периоду равен 0.

ссылка

отвечен 25 Май '12 0:48

изменен 7 Июн '12 20:56

Можно,пожалуйста,по подробнее)

(3 Июн '12 22:16) Michal

$%\int_C(Pdx+Qdy) = \int_C((2a-y)dx+(y-a)dy) =$% $%=\int_0^{2\pi}((2a-a(1-\cos t))d(a(t-\sin t))+(a(t-\sin t)-a)d(a(t-\sin t)))$%.

Это самое стандартное решение. Но его можно сократить, если использовать то, что некоторые слагаемые являются полными дифференциалами. Например,
$%\int_C(y-a)dy =(y^2/2-ay)|_{t=0}^{t=2\pi}=0$%, так как значение y на концах контура C совпадают.

(4 Июн '12 12:05) DocentI

Получается вот так?

alt text

(7 Июн '12 15:10) Michal

Ужасно неудобно смотреть результат в другом месте. Не буду я мучиться! Надо было вставить картинку или формулы сюда. При поверхностном взгляде мне показалось, что Вы не вычислили дифференциал dx, а просто заменили его на xdt.
А уж "+С" на конце - вообще нонсенс! Интеграл-то определенный!

(7 Июн '12 20:32) DocentI

Решение 3-го интеграла будет $$2\Pi a^{2}$$ ?

(15 Июн '12 14:19) Michal

Что Вы называете "третьим" интегралом? $$\int_Cydx = a^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2 = a^2\cdot3/2\cdot 2\pi =3\pi a^2$$

(15 Июн '12 16:09) DocentI

Ошиблась,извините. Сумма всех интегралов-это и есть окончательный ответ?

(15 Июн '12 18:14) Michal

Ну вот что на это сказать? Да, есть. Только второй интеграл входит в сумму "с минусом".
Будьте по самостоятельней!

(15 Июн '12 19:16) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,131

задан
25 Май '12 0:29

показан
3338 раз

обновлен
15 Июн '12 19:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru