|
Здравствуйте! Требуется найти: $$\ln \left(\lim\limits_{x \to \frac \pi2+0} (\sin x)^{\tan^2 x}\right).$$ То есть главное, я так понимаю, найти предел, а вот, как такое решать, я не знаю. задан 24 Фев '15 23:16 
Math_2012 |
|
$$(\sin x)^{\tan^2x}=\left((1+(\sin x-1))^{\frac1{\sin x-1}}\right)^{\tan^2x(\sin x-1)},$$ $$\tan^2x(\sin x-1)=\frac{\sin^2x(\sin x-1)}{\cos^2x}=\frac{\sin^2x(\sin x-1)}{1-\sin^2x}=-\frac{\sin^2x}{1+\sin x}\to-\frac 12,$$ и согласно замечательного предела, ответ $$e^{-\frac 12}.$$ отвечен 24 Фев '15 23:37 
EdwardTurJ |
|
Можно воспользоваться тем, что непрерывные функции и пределы можно переставлять местами... $$ \ln\left(\lim\limits_{x\to\pi/2+0}(\sin x)^{tg^2x}\right) =\lim\limits_{x\to\pi/2+0}\ln\left((\sin x)^{tg^2x}\right)= \lim\limits_{x\to\pi/2+0} tg^2x \cdot\ln(\sin x) $$ Сделаем замену $%z=x-\frac{\pi}{2}$% ... получим $$ \lim\limits_{z\to+0} ctg^2z \cdot\ln(\cos z)... $$ Затем пользуемся эквивалентными функциями $$ \ln(\cos z)\sim \cos z-1\sim -\frac{z^2}{2},\qquad ctg\, z=\frac{1}{tg\,z}\sim \frac{1}{z}... $$ Остаётся только написать ответ... отвечен 25 Фев '15 17:37 
all_exist |