Здравствуйте! Требуется найти:

$$\ln \left(\lim\limits_{x \to \frac \pi2+0} (\sin x)^{\tan^2 x}\right).$$

То есть главное, я так понимаю, найти предел, а вот, как такое решать, я не знаю.
И еще хорошо бы, если бы Вы подсказали нужную литературу, если где-то можно прочитать, как такие пределы брать.
Ответ -0.5.
С помощью http://www.wolframalpha.com/ я нашла, что предел равен $%\frac 1{\sqrt e}$%, но вот как к этому придти?

задан 24 Фев '15 23:16

изменен 24 Фев '15 23:46

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$(\sin x)^{\tan^2x}=\left((1+(\sin x-1))^{\frac1{\sin x-1}}\right)^{\tan^2x(\sin x-1)},$$ $$\tan^2x(\sin x-1)=\frac{\sin^2x(\sin x-1)}{\cos^2x}=\frac{\sin^2x(\sin x-1)}{1-\sin^2x}=-\frac{\sin^2x}{1+\sin x}\to-\frac 12,$$ и согласно замечательного предела, ответ $$e^{-\frac 12}.$$

ссылка

отвечен 24 Фев '15 23:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно воспользоваться тем, что непрерывные функции и пределы можно переставлять местами... $$ \ln\left(\lim\limits_{x\to\pi/2+0}(\sin x)^{tg^2x}\right) =\lim\limits_{x\to\pi/2+0}\ln\left((\sin x)^{tg^2x}\right)= \lim\limits_{x\to\pi/2+0} tg^2x \cdot\ln(\sin x) $$ Сделаем замену $%z=x-\frac{\pi}{2}$% ... получим $$ \lim\limits_{z\to+0} ctg^2z \cdot\ln(\cos z)... $$ Затем пользуемся эквивалентными функциями $$ \ln(\cos z)\sim \cos z-1\sim -\frac{z^2}{2},\qquad ctg\, z=\frac{1}{tg\,z}\sim \frac{1}{z}... $$ Остаётся только написать ответ...

ссылка

отвечен 25 Фев '15 17:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×108
×19

задан
24 Фев '15 23:16

показан
391 раз

обновлен
25 Фев '15 17:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru