Заполните пропуски словами «необходимо и достаточно» или «необходимо, но не достаточно» или «достаточно, но не необходимо», чтобы получилось верное утверждение. Для того, чтобы стороны АВ и СD четырёхугольника АВСD были параллельны ..., PQ=1/2(AB+CD). (Здесь P и Q середины ВС и АD соответственно)

задан 25 Фев '15 12:57

10|600 символов нужно символов осталось
0

Легко видеть, что для параллелограмма и для трапеции это свойство выполнено, то есть оно является необходимым. Проверим, что оно же является достаточным.

Из условия следует, что всегда имеет место векторное равенство $%\vec{PQ}=\frac12(\vec{BA}+\vec{CD})$%. Тогда $%PQ^2=\vec{PQ}^2=\frac14(BA^2+CD^2+2\vec{BA}\cdot\vec{CD}))$%. Это верно всегда. Если же $%PQ=\frac12(BA+CD)$% для длин, то $%PQ^2=\frac14(BA^2+CD^2+2BA\cdot CD$%. Значит, скалярное произведение $%\vec{BA}\cdot\vec{CD}$% равно произведению длин $%BA\cdot CD$%. Тем самым, косинус угла между векторами равен 1, сам угол равен нулю, векторы сонаправлены, и прямые параллельны.

ссылка

отвечен 25 Фев '15 13:16

Для параллелограмма это неверно

(25 Фев '15 14:00) eliza1111

@nina1111: для параллелограмма это верно, потому что отрезок PQ разбивает его на два одинаковых параллелограмма, где AB=CD=PQ, то есть PQ равен полусумме длин сторон. Для трапеции это будет свойство средней линии.

Можно также заметить, что рассуждение с векторами действует в обе стороны.

(25 Фев '15 16:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,101
×501
×5
×4

задан
25 Фев '15 12:57

показан
1301 раз

обновлен
25 Фев '15 16:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru