|
помогите решить интеграл $$-\int\frac{dx}{e^{x}+1}$$ методом неопределенных коэффициентов задан 25 Май '12 16:30 
tkoff |
|
Метод неопределённых коэффициентов -- это механизм разложения сложных рациональных дробей на простые. Например, в Вашем случае после подстановки $%y=e^x,\; x=\ln y,\; dx = \dfrac{dy}{y}$% будет такая дробь: $$ \frac{1}{y(y+1)}. $$ Представим её как сумму простых дробей (в алгебре есть теорема, доказывающая существование подобного представления) и приведём эту сумму дробей к общему знаменателю: $$ \frac{1}{y(y+1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y+1} = \frac{A(y+1) + By}{y(y+1)} = \frac{(A+B)y + A}{y(y+1)}. $$ Поскольку знаменатели дробей равны, то равны и числители. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: $$ A+B = 0,$$ $$ A = 1,$$ откуда находим: $$ A = 1, $$ $$ B = -1.$$ Таким образом, получили: $$ \frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y+1}. $$ Интегралы этих дробей элементарны, их уже посчитайте сами. И не забудьте обратную подстановку сделать. отвечен 25 Май '12 20:42 
xmonoid 1
Для отыскания неопределенных коэффициентов в таком простом случае можно применить "метод закрывания". Например, коэффициент A получаем, "закрыв" в исходной дроби в знаменателе y и подставив в оставшееся выражение 0 (корень равенства $%y = 0$%). Т.е. $% A={1\over y + 1}\big|_{y = 0} = 1 $%. Аналогично $%B = {1\over y}\big|_{y = -1} = -1$%.
(25 Май '12 22:53)
DocentI
Вообще любопытный метод. Не могли бы Вы посоветовать литературу, где есть его теоретическое обоснование? А то что-то не гуглится...
(26 Май '12 19:46)
xmonoid
1
@xmonoid, литературы не знаю, всегда объясняю непосредственно.
Предположим, что надо найти A в разложении $%{Q(x)\over (x-a)P(x)}={A\over x-a}+R(x)$%, причем a - не корень P(x). R - сумма остальных простейших дробей, у них в знаменателях нет (x - a).
(26 Май '12 22:40)
DocentI
|
|
Предполагаю следующее: $%1. \ \ \forall x (x \in \{1,2\} \rightarrow x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}) \wedge \forall y \cdot (y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} \rightarrow \frac{1}{y \cdot (y + 1)} = \frac{a}{y} + \frac{b}{y + 1})$% $%\Rightarrow \frac{1}{1 \cdot (1 + 1)} = \frac{a}{1} + \frac{b}{1 + 1} \wedge \frac{1}{2 \cdot (2 + 1)} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2 + 1} \Leftrightarrow 1 = 2a + b \wedge 1 = 3a + 2b \Leftrightarrow \langle a, b \rangle = \langle 1, -1 \rangle$% $%2. \ \ \langle a, b \rangle = \langle 1, -1 \rangle \wedge \forall y \cdot (y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} \rightarrow \frac{1}{y \cdot (y + 1)} = \frac{a}{y} + \frac{b}{y + 1}) $% $%\Rightarrow \forall y (y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} \rightarrow \frac{1}{y \cdot (y + 1)} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y + 1})$% отвечен 25 Май '12 22:10 
Галактион Метод подстановки конкретных значений вместо y - хороший метод. Но еще лучше подставлять корни знаменателя (умножив предварительно равенство на "лишнюю" скобку). Это так называемый "метод закрывания" ив случае простых корней он дает значения неопределенных коэффициентов без решения системы.
(25 Май '12 22:59)
DocentI
|
|
Сначала нужно сделать подстановку $%y=e^x $%, $%dy=e^xdx $% , в полученном интеграле разложить дробь на элементарные методом неопределенных коэффициентов, взять полученные интегралы по $%dy$% и сделать обратную подстановку. отвечен 25 Май '12 19:13 
Андрей Юрьевич |