помогите решить интеграл $$-\int\frac{dx}{e^{x}+1}$$ методом неопределенных коэффициентов

задан 25 Май '12 16:30

изменен 25 Май '12 16:32

10|600 символов нужно символов осталось
1

Метод неопределённых коэффициентов -- это механизм разложения сложных рациональных дробей на простые. Например, в Вашем случае после подстановки $%y=e^x,\; x=\ln y,\; dx = \dfrac{dy}{y}$% будет такая дробь: $$ \frac{1}{y(y+1)}. $$

Представим её как сумму простых дробей (в алгебре есть теорема, доказывающая существование подобного представления) и приведём эту сумму дробей к общему знаменателю: $$ \frac{1}{y(y+1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y+1} = \frac{A(y+1) + By}{y(y+1)} = \frac{(A+B)y + A}{y(y+1)}. $$ Поскольку знаменатели дробей равны, то равны и числители. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях: $$ A+B = 0,$$ $$ A = 1,$$ откуда находим: $$ A = 1, $$ $$ B = -1.$$ Таким образом, получили: $$ \frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y+1}. $$ Интегралы этих дробей элементарны, их уже посчитайте сами. И не забудьте обратную подстановку сделать.

ссылка

отвечен 25 Май '12 20:42

1

Для отыскания неопределенных коэффициентов в таком простом случае можно применить "метод закрывания". Например, коэффициент A получаем, "закрыв" в исходной дроби в знаменателе y и подставив в оставшееся выражение 0 (корень равенства $%y = 0$%). Т.е. $% A={1\over y + 1}\big|_{y = 0} = 1 $%.

Аналогично $%B = {1\over y}\big|_{y = -1} = -1$%.

(25 Май '12 22:53) DocentI

Вообще любопытный метод. Не могли бы Вы посоветовать литературу, где есть его теоретическое обоснование? А то что-то не гуглится...

(26 Май '12 19:46) xmonoid
1

@xmonoid, литературы не знаю, всегда объясняю непосредственно. Предположим, что надо найти A в разложении $%{Q(x)\over (x-a)P(x)}={A\over x-a}+R(x)$%, причем a - не корень P(x). R - сумма остальных простейших дробей, у них в знаменателях нет (x - a).
Умножаем равенство на (x - a), получаем $%{Q(x)\over P(x)}=A+(x-a)R(x)$%. Осталось подставить x = a.
Так же можно найти коэффициент в дроби, соответствующей старшей степени (x - a), если a - кратный корень.

(26 Май '12 22:40) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Предполагаю следующее:

$%1. \ \ \forall x (x \in \{1,2\} \rightarrow x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}) \wedge \forall y \cdot (y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} \rightarrow \frac{1}{y \cdot (y + 1)} = \frac{a}{y} + \frac{b}{y + 1})$%

$%\Rightarrow \frac{1}{1 \cdot (1 + 1)} = \frac{a}{1} + \frac{b}{1 + 1} \wedge \frac{1}{2 \cdot (2 + 1)} = \frac{a}{2} + \frac{b}{2 + 1} \Leftrightarrow 1 = 2a + b \wedge 1 = 3a + 2b \Leftrightarrow \langle a, b \rangle = \langle 1, -1 \rangle$%

$%2. \ \ \langle a, b \rangle = \langle 1, -1 \rangle \wedge \forall y \cdot (y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} \rightarrow \frac{1}{y \cdot (y + 1)} = \frac{a}{y} + \frac{b}{y + 1}) $%

$%\Rightarrow \forall y (y \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\} \rightarrow \frac{1}{y \cdot (y + 1)} = \frac{1}{y} - \frac{1}{y + 1})$%

ссылка

отвечен 25 Май '12 22:10

Метод подстановки конкретных значений вместо y - хороший метод. Но еще лучше подставлять корни знаменателя (умножив предварительно равенство на "лишнюю" скобку). Это так называемый "метод закрывания" ив случае простых корней он дает значения неопределенных коэффициентов без решения системы.

(25 Май '12 22:59) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Сначала нужно сделать подстановку $%y=e^x $%, $%dy=e^xdx $% , в полученном интеграле разложить дробь на элементарные методом неопределенных коэффициентов, взять полученные интегралы по $%dy$% и сделать обратную подстановку.

ссылка

отвечен 25 Май '12 19:13

изменен 25 Май '12 19:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×62

задан
25 Май '12 16:30

показан
3456 раз

обновлен
26 Май '12 22:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru