Пусть $%P$% - выпуклый 2006-угольник. Проведем 1003 диагонали, что соединяют противоположные вершины и 1003 прямых, соединяющих середины противоположных сторон, все 2006 прямых пересекаются в одной точке. Докажите, что противоположные стороны $%P$% параллельны и равны.

задан 28 Фев '15 15:11

10|600 символов нужно символов осталось
2

Положим $%n=1003$%. Рассмотрим две пары смежных $%A_i,A_{i+1},A_{n+i},A_{n+i+1}$%. Пускай $%B_i,B_{n+i}$% - середины сторон $%A_i,A_{i+1}$% и $%A_{n+i},A_{n+i+1}$%, $%O$% - точка пересечения $%A_iA_{n+i},A_{i+1}A_{n+i+1},B_iB_{n+i}$%. Легко доказать (например векторным способом), что $%A_iA_{i+1}||A_{n+i}A_{n+i+1}$%. Введём обозначение $$k=A_iA_{i+1}/A_{n+i}A_{n+i+1}.$$ Тогда и $$k=A_{i+1}A_{i+2}/A_{n+i+1}A_{n+i+2},$$ и т.д., в конце получим $%k=A_{n+i}A_{n+i+1}/A_iA_{i+1}$%, отсюда $%k=1$%.

ссылка

отвечен 28 Фев '15 16:03

@EdwardTurJ: я первую половину этих рассуждений получил, а дальше не догадался до того, что надо обойти круг. Идея красивая.

(28 Фев '15 18:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×51

задан
28 Фев '15 15:11

показан
435 раз

обновлен
28 Фев '15 18:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru