Доказать что число $%m^4+1$% не имеет делителей на промежутке $%[m^2-2m,m^2+2m]$% для каждого натурального $%m$% большего $%2$%.

задан 1 Мар '15 23:12

изменен 2 Мар '15 0:03

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предположим, что $%m^4+1$% делится на $%m^2+k$%, где $%|k|\le2m$%. Поскольку $%m^4-k^2$% делится на $%m^2-k$%, то и $%(m^4+1)-(m^4-k^2)=k^2+1$% делится на $%m^2+k$%.

Посмотрим, какие значения может принимать частное. Пусть оно равно 1. Тогда $%k^2+1=m^2+k$%, то есть $%k^2-k=m^2-1$%. Отсюда следует, что $%(2k-1)^2=4(k^2-k)+1=4m^2-3$%, то есть $%3=(2m)^2-(2k-1)^2$%. Ясно, что 3 можно представить в виде разности квадратов только как $%4-1$%, но тогда $%m=1$%.

Пусть частное равно 2. Получается $%k^2+1=2m^2+2k$%, то есть $%(k-1)^2=2m^2$%. Этого быть не может ввиду иррациональности числа $%\sqrt2$%.

Также частное не может быть равно 3, так как квадрат целого числа при делении на 3 даёт в остатке 0 или 1, и $%k^2+1$% на 3 делиться не может.

Если частное равно 4, то $%k^2+1=4m^2+4k$%, но это противоречит тому, что квадрат целого числа при делении на 4 даёт в остатке только 0 или 1.

Наконец, если частное не меньше 5, то $%(2m)^2+1\ge k^2+1\ge5m^2+5k\ge5m^2-10m$%, и тогда $%m^2\le10m+1$%, то есть $%m\le10$%. Для этих значений утверждение может быть проверено непосредственно. Чтобы не перебирать много вариантов, заметим, что $%k^2-4$% делится на 5, и рассматривать надо лишь числа вида $%k=5q\pm2$%, то есть 3, 7, 8. Для них $%3^4+1=2\cdot41$% не имеет делителей от 3 до 15; $%7^4+1=2\cdot1201$%, где последнее из чисел простое; $%8^4+1=4097=17\cdot241$% не имеет делителей от 48 до 80.

ссылка

отвечен 1 Мар '15 23:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×680
×18

задан
1 Мар '15 23:12

показан
254 раза

обновлен
1 Мар '15 23:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru