Пусть $%M ⊂ R$% – открытое множество.
Будет ли множество $%A_M = \big\{x(t) ∈ C[0, 1], x(t) ∈ M ∀t ∈ [0, 1]\big\}$% открытым?

задан 2 Мар '15 13:27

изменен 2 Мар '15 15:58

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@vovan2015, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(3 Мар '15 11:53) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Да, будет. Рассмотрим произвольную функцию $%x_0\in A_M$%. Она принимает на отрезке наименьшее и наибольшее значение $%m_1$% и $%m_2$% соответственно. Множеством её значений будет отрезок $%[m_1;m_2]\subset M$%. Поскольку $%M$% открыто на числовой прямой, для некоторого $%\varepsilon > 0$% будет выполняться условие $%(m_1-\varepsilon;m_2+\varepsilon)\subset M$%. Рассмотрим $%\varepsilon$%-окрестность функции $%x_0$% в пространстве $%C[0;1]$%. Она состоит из всех функций $%x\in C[0;1]$%, для которых $%||x-x_0|| < \varepsilon$%. Это значит, что для любого $%t\in[0;1]$% справедливо неравенство $%|x(t)-x_0(t)| < \varepsilon$%. В частности, $%x(t) < x_0(t)+\varepsilon\le m_2+\varepsilon$%, а также $%x(t) > x_0(t)-\varepsilon\ge m_1-\varepsilon$% для всех $%t\in[0;1]$%. Получается, что $%x(t)\in(m_1-\varepsilon;m_2+\varepsilon)$%, то есть $%x(t)\in M$% для всех $%t$%. Это означает, что $%x\in A_M$% (для всех функций из $%\varepsilon$%-окрестности). Тем самым, $%A_M$% открыто.

ссылка

отвечен 3 Мар '15 3:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×478

задан
2 Мар '15 13:27

показан
511 раз

обновлен
3 Мар '15 11:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru