|
Решите уравнение: $% \log_{20} \big( \frac{1}{\cos x} -{\rm tg} \ x\big)= \log_{15} \big( \frac{1}{\cos x}+{\rm tg} \ x \big)$% задан 6 Мар '15 13:18 
serg55 |
|
Под знаком логарифма находятся числа $%\frac{1-\sin x}{\cos x}$% и $%\frac{1+\sin x}{\cos x}$%. Числители не могут обращаться в ноль, поэтому они положительны. Следовательно, косинус тоже положителен, и с точностью до периода можно считать, что $%x\in(-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2)$%. Надо доказать, что $%\sin x=0$%. Тогда $%x=2\pi k$% (с учётом положительности косинуса) будет ответом при $%k\in\mathbb Z$%. Предположим, что $%\sin x > 0$%. Это значит, что $%x\in(0;\frac{\pi}2)$%. Очевидно, что числитель второй дроби больше знаменателя: $%1+\sin x > 1 > \cos x$%. Следовательно, дробь больше 1, и её логарифм по основанию 15 положителен. Первая дробь, соответственно, меньше 1, и её логарифм по основанию 20 отрицателен. Действительно, $%1-\sin x < \cos x$% на рассматриваем промежутке, поскольку $%\sin x+\cos x=\sqrt2\cos(x-\frac{\pi}4) > \sqrt2\cos\frac{\pi}4=1$%. Случай $%\sin x < 0$% полностью аналогичен: здесь значение левой части окажется положительным, а в правой будет отрицательное число. Специфика чисел 15 и 20 тут роли практически не играет: вместо них могли быть любые числа, большие единицы. отвечен 6 Мар '15 18:49 
falcao |
|
Графики $%f(x)=log_{20}(x)$% и $%g(x)=log_{15} (x)$% пересекаются всего в одной точке $%x=1$% (ссылка). Тогда можно перейти от этого уравнениям к $%\frac{1}{cos x}-tg x=1$% и $%\frac{1}{cos x}+tg x=1$%. Откуда уже легко найти $%x=0$% отвечен 6 Мар '15 13:27 
FedorTokarev 1
@FedorTokarev: такое рассуждение не проходит, потому что под логарифмами стоят разные величины. Теоретически возможно, что мы имеем дело с равенством $%\log_{20}20=\log_{15}15$%. Поэтому нельзя делать вывод, что числа равны единице.
(6 Мар '15 14:53)
falcao
|