Решите уравнение: $% \log_{20} \big( \frac{1}{\cos x} -{\rm tg} \ x\big)= \log_{15} \big( \frac{1}{\cos x}+{\rm tg} \ x \big)$%

задан 6 Мар '15 13:18

изменен 6 Мар '15 14:45

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Под знаком логарифма находятся числа $%\frac{1-\sin x}{\cos x}$% и $%\frac{1+\sin x}{\cos x}$%. Числители не могут обращаться в ноль, поэтому они положительны. Следовательно, косинус тоже положителен, и с точностью до периода можно считать, что $%x\in(-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2)$%.

Надо доказать, что $%\sin x=0$%. Тогда $%x=2\pi k$% (с учётом положительности косинуса) будет ответом при $%k\in\mathbb Z$%. Предположим, что $%\sin x > 0$%. Это значит, что $%x\in(0;\frac{\pi}2)$%. Очевидно, что числитель второй дроби больше знаменателя: $%1+\sin x > 1 > \cos x$%. Следовательно, дробь больше 1, и её логарифм по основанию 15 положителен. Первая дробь, соответственно, меньше 1, и её логарифм по основанию 20 отрицателен. Действительно, $%1-\sin x < \cos x$% на рассматриваем промежутке, поскольку $%\sin x+\cos x=\sqrt2\cos(x-\frac{\pi}4) > \sqrt2\cos\frac{\pi}4=1$%.

Случай $%\sin x < 0$% полностью аналогичен: здесь значение левой части окажется положительным, а в правой будет отрицательное число.

Специфика чисел 15 и 20 тут роли практически не играет: вместо них могли быть любые числа, большие единицы.

ссылка

отвечен 6 Мар '15 18:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Графики $%f(x)=log_{20}(x)$% и $%g(x)=log_{15} (x)$% пересекаются всего в одной точке $%x=1$% (ссылка). Тогда можно перейти от этого уравнениям к $%\frac{1}{cos x}-tg x=1$% и $%\frac{1}{cos x}+tg x=1$%. Откуда уже легко найти $%x=0$%

ссылка

отвечен 6 Мар '15 13:27

изменен 6 Мар '15 13:28

1

@FedorTokarev: такое рассуждение не проходит, потому что под логарифмами стоят разные величины. Теоретически возможно, что мы имеем дело с равенством $%\log_{20}20=\log_{15}15$%. Поэтому нельзя делать вывод, что числа равны единице.

(6 Мар '15 14:53) falcao

@falcao: Не подскажите, а как правильно решить эту задачу, пожалуйста. Заранее благодарен.

(6 Мар '15 15:23) serg55
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,223
×273

задан
6 Мар '15 13:18

показан
976 раз

обновлен
6 Мар '15 18:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru