1. В центре квадратного бильярдного стола, лузы которого находятся только в его углах, лежит шар. Можно ли так кием направить шар, чтобы, отразившись от одного борта (угол падения равен углу отражения), шар попал в какую-нибудь лузу:
    a) сразу;
    b) отразившись от противоположного борта?

  2. Прямоугольный лист бумаги длиной $%a$% см и шириной $%b$% см сложили по диагонали Части, выходящие за границы двух слоёв бумаги, отрезали и развернули лист. Всегда ли площадь полученного листа будет больше половины площади исходного листа?

задан 6 Мар '15 20:16

изменен 6 Мар '15 20:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Отразим квадрат зеркально относительно одной из сторон. Тогда, если шар отражается от верхнего борта и далее движется вниз, то в зеркальном отражении шар будет двигаться по прямой (это следует из равенства вертикальных углов). Если мы хотим попасть в правую нижнюю лузу после одного отражения от борта, то у зеркального отражения надо целиться в правую верхнюю "лузу" (отражение правой нижней).

Для двух отражений -- аналогично, но надо нарисовать сначала одно отражение, а потом ещё одно, от верхней стороны первого отражения. Тогда целимся в самую верхнюю правую точку. Луч в отражении идёт по прямой, пересекая два раза стороны нарисованных квадратов. Это значит, что шар отразится от верхнего борта, потом от нижнего, и попадёт в правую верхнюю лузу бильярда.

2) Сделаем рисунок прямоугольника $%ABCD$%, в котором вершины идут по часовой стрелке, и сторона $%BC$% (длинная) находится сверху. Проведём диагональ $%AC$%, отражая точку $%D$% относительно неё, получая точку $%D'$%. Проведём отрезок $%AD'$%, пересекающий сторону $%BC$% в точке $%K$%. После отрезаний у нас вместо треугольника $%ABC$% получится треугольник $%AKC$%. Его площадь относится к площади отрезанного треугольника $%ABK$% как $%KC:KB$%, и это отношение равно отношению оснований равнобочной трапеции $%ABD'C$%, а именно, $%AC:BD'$%. Поскольку угол $%BAC$% меньше 90 градусов, основание $%AC$% больше основания $%BD'$%. Это значит, что площадь остающейся части будет больше площади отрезаемой, то есть площадь полученного листа будет больше, чем половина площади исходного листа.

ссылка

отвечен 7 Мар '15 3:29

1) "то в зеркальном отражении шар будет двигаться по прямой" - в смысле? А так он двигается не по прямой? Или Вы имеете в виду вверх? Если нет, то я не правильно начертил и понял. И если мы будем целиться в правую верхнюю лузу, то мы можем ведь и попасть в нее, а нам обязательно нужно, чтобы шар, отразившись от борта, попал в нижнюю?? Я наверное, бред сейчас несу? )) Просто понять хочется, а что-то, видимо, представить это всё не могу.

(9 Мар '15 4:43) Антон Коваль

@Антон Коваль: шар движется по прямой только тогда, когда он не сталкивается с бортом. И после того, как настоящий шар столкнулся с бортом и отразился от него, его зеркальный "двойник" будет двигаться прямо, как если бы отражения не было.

В тексте сказано, что целиться надо не в правую верхнюю лузу самого бильярда, а в точку, которая расположена справа сверху в отражённой части квадрата.

Идея использования отражений достаточно простая -- к ней надо всего лишь привыкнуть.

(9 Мар '15 4:52) falcao

Ну да, спасибо. Кажется, понял

(9 Мар '15 6:55) Антон Коваль
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,788
×370
×250
×46
×30

задан
6 Мар '15 20:16

показан
907 раз

обновлен
9 Мар '15 6:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru