Последовательность задана так: $%x_1= 2014, x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{1}{x_n})$%.

Нужно найти предел $%\lim\limits_{n \to + \infty} x_n$%.

задан 7 Мар '15 20:54

изменен 7 Мар '15 21:46

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Предел последовательности равен 1, чтобы в этом убедится, нужно в равенстве $%x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n + \frac{1}{x_n})$% положить $%x_n=x_{n+1}=a$% и найти $%a$%. Правда перед этим нужно доказать, что предел существует.

(7 Мар '15 21:19) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
0

Все члены последовательности положительны. Применяя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получаем $%x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac1{x_n})\ge\sqrt{x_n\cdot\frac1{x_n}}=1$%. Можно заметить, что если $%x_n > 1$%, то и следующий член будет строго больше 1. Таким образом, последовательность ограничена снизу.

Сравним каждый член последовательности со следующим: $%x_{n+1}-x_n=\frac12(\frac1{x_n}-x_n)=\frac{1-x_n^2}{2x_n} < 0$%. Это значит, что последовательность строго монотонно убывает. Будучи ограниченной снизу, она сходится в силу известного признака из курса математического анализа, то есть она имеет некоторый предел, равный $%a\ge1$% при $%n\to\infty$%. Переходя к этому пределу в равенстве $%x_{n+1}=\frac12(x_n+\frac1{x_n})$%, получим $%a=\frac12(a+\frac1a)$%, откуда $%a^2=1$%, то есть $%a=1$% с учётом положительности. Следовательно, $%\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1$%.

ссылка

отвечен 7 Мар '15 21:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,136
×676
×287

задан
7 Мар '15 20:54

показан
443 раза

обновлен
7 Мар '15 21:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru