Доказать, что для неотрицательных $%a,b$% и $%c$% таких, что $%(a+b)(b+c)(c+a)>0, $%выполняется неравенство $$\frac{4a}{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\ge2.$$

задан 8 Мар '15 21:09

10|600 символов нужно символов осталось
3

Функция $% f(a,b,c) $% в левой части неравенства выпукла по $% b,c $% при $% b+c=const $% и симметрична относительно перестановки этих аргументов, поэтому минимум по этим параметрам достигается при $% c=b. $% Тогда, подставляя $% c=b $% и обозначив $% x=a/b, $% легко найти минимум функции f(x,1,1)= $% 2(x+1/(1+x)) , $% а, следовательно, и всего выражения в левой части. Он равен 2 при $% x=0 , $% т. е. при $% a=0,c=b. $%

Примечание. Чтобы убедиться в выпуклости $% f(a,b,c) $% по $% b,c $% при $% b+c=const $% достаточно сделать подстановку $% c=d-b, $% и заметить, что полученные слагаемые в $% f(a,b,d-b) $% выпуклы по $% b. $%

ссылка

отвечен 8 Мар '15 23:12

изменен 9 Мар '15 10:12

10|600 символов нужно символов осталось
3

Положим $%x=b+c$%, $%y=c+a$%, $%z=a+b$%; это положительные числа. Подставляя $%a=\frac{y+z-x}2$%, $%b=\frac{x+z-y}2$%, $%c=\frac{x+y-z}2$% и преобразуя, получаем неравенство $%(\frac{x}y+4\cdot\frac{y}x)+(\frac{x}z+4\cdot\frac{z}x)+(\frac{x}y+\frac{y}x)\ge10$%. Из неравенств о среднем получается, что левая часть действительно не меньше $%4+4+2=10$%.

ссылка

отвечен 8 Мар '15 23:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Неравенство Титу: $$....\geq \frac{(2a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\geq 2$$ $$⇔$$

$$4a^2 + b^2 + c^2 + 2bc + 4ab + 4ac \geq 4ab + 4ac + 4bc$$ $$ ⇔$$

$$4a^2 + (b-c)^2 \geq 0$$

ссылка

отвечен 7 Сен 20:18

изменен 7 Сен 20:51

@laywer: Идея правильная, но последние преобразования неверны.

(7 Сен 20:42) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Исправил.

(7 Сен 20:51) lawyer
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×201

задан
8 Мар '15 21:09

показан
738 раз

обновлен
7 Сен 20:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru