линейная-алгебра - Доказать, что два различных подпространства являются прямыми дополнениями к третьему подпространству

Пусть матрица $%A$% равна сумме $%B+C$%, где $%B$% -- симметрическая, а $%C$% -- кососимметрическая (все матрицы квадратные, $%n$%-го порядка). Покажем, что для данной матрицы $%A$% такое представление существует и единственно.

Поскольку $%a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$% для любых индексов $%i$%, $%j$%, мы имеем также $%a_{ji}=b_{ji}+c_{ji}=b_{ij}-c_{ij}$%. Складывая и вычитая два уравнения и деля на два, получаем $%b_{ij}=\frac{a_{ij}+a_{ji}}2$% и $%c_{ij}=\frac{a_{ij}-a_{ji}}2$%. Из этого следует, что матрицы $%B$% и $%C$% единственным образом выражаются через $%A$%. Кроме того, ясно, что матрица $%B$%, элементы которой заданы указанной выше формулой, будет симметрической, а $%C$% -- кососимметрической. Тем самым доказано, что $%{\rm Mat}_n(\mathbb R)$% есть прямая сумма $%V\oplus U$%. Слагаемые можно поменять местами.

Теперь сделаем то же самое с представлением вида $%A=C+D$%, где $%C$% по-прежнему кососимметрическая, а $%D$% -- верхнетреугольная. Поскольку $%d_{ji}=0$% при $%j > i$%, получается равенство $%a_{ji}=c_{ji}$% для этих значений индексов. Для диагональных элементов $%c_{ii}=0$%, откуда $%a_{ii}=d_{ii}$%. Наконец, для тех же $%j > i$% получается $%a_{ij}=c_{ij}+d_{ij}=-c_{ji}+d_{ij}=-a_{ji}+d_{ij}$%, в результате чего элементы матрицы $%D$% однозначно выражаются через элементы матрицы $%A$%. Следовательно, элементы матрицы $%C=A-D$% тоже однозначно выражаются, откуда следует единственность.

Полагая $%d_{ji}=0$%, $%d_{ij}=a_{ij}+a_{ji}$% при $%j > i$%; $%d_{ii}=a_{ii}$%, мы задаём верхнетреугольную матрицу $%D$%. Рассмотрим матрицу $%C=A-D$%. Для неё $%c_{ii}=0$%, $%c_{ji}=a_{ji}$% при $%j > i$% и $%c_{ij}=a_{ij}-d_{ij}=-a_{ji}=-c_{ji}$% для тех же значений индексов, поэтому $%C$% кососимметрическая. Тем самым, доказаны существование и единственность представления $%A=C+D$%, то есть $%{\rm Mat}_n(\mathbb R)$% есть прямая сумма $%U\oplus W$%.

Найдём проекции матричных единиц. Если $%i=j$%, то проекция $%E_{ii}$% на подпространство кососимметрических матриц параллельно $%V$% будет нулевой матрицей. При $%i\ne j$% в согласии с формулой для $%c_{ij}$% получится кососимметрическая матрица, для которой $%c_{ij}=\frac12$% и $%c_{ji}=-\frac12$% для данных индексов, а все остальные элементы нулевые.

Для проекции на то же подпространство параллельно $%W$% получится следующее: $%E_{ij}$% проектируется на нулевую матрицу из $%U$% при $%i\le j$%, являясь верхнетреугольной, а в случае $%i > j$% к единице, стоящей на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца этой матрицы, добавляется $%-1$% на симметричном относительно главной диагонали месте.