Пусть $%Mat_{n}R$% - пространство квадратных матриц порядка $%n$% с элементами из $%R$%, а $%U,V,W$% - его подпространства, состоящие из кососимметрических, симметрических и верхних треугольных матриц. Доказать, что $%V,W$% - различные прямые дополнения к $%U$% в $%Mat_{n}R$% и найти проекции матричных единиц $%E_{i,j}, 1<=i,j<=n$%, на $%U$% параллельно $%V$% и на $%U$% параллельно $%W$%

задан 9 Мар '15 2:51

изменен 9 Мар '15 3:20

@Uchenitsa: проверьте, пожалуйста, условия в той части, где U и V названы прямыми дополнениями к U -- так какие-то буквы надо изменить.

(9 Мар '15 3:03) falcao

@falcao, извините, опечаталась. Условие задачи исправлено.

(9 Мар '15 3:21) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть матрица $%A$% равна сумме $%B+C$%, где $%B$% -- симметрическая, а $%C$% -- кососимметрическая (все матрицы квадратные, $%n$%-го порядка). Покажем, что для данной матрицы $%A$% такое представление существует и единственно.

Поскольку $%a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$% для любых индексов $%i$%, $%j$%, мы имеем также $%a_{ji}=b_{ji}+c_{ji}=b_{ij}-c_{ij}$%. Складывая и вычитая два уравнения и деля на два, получаем $%b_{ij}=\frac{a_{ij}+a_{ji}}2$% и $%c_{ij}=\frac{a_{ij}-a_{ji}}2$%. Из этого следует, что матрицы $%B$% и $%C$% единственным образом выражаются через $%A$%. Кроме того, ясно, что матрица $%B$%, элементы которой заданы указанной выше формулой, будет симметрической, а $%C$% -- кососимметрической. Тем самым доказано, что $%{\rm Mat}_n(\mathbb R)$% есть прямая сумма $%V\oplus U$%. Слагаемые можно поменять местами.

Теперь сделаем то же самое с представлением вида $%A=C+D$%, где $%C$% по-прежнему кососимметрическая, а $%D$% -- верхнетреугольная. Поскольку $%d_{ji}=0$% при $%j > i$%, получается равенство $%a_{ji}=c_{ji}$% для этих значений индексов. Для диагональных элементов $%c_{ii}=0$%, откуда $%a_{ii}=d_{ii}$%. Наконец, для тех же $%j > i$% получается $%a_{ij}=c_{ij}+d_{ij}=-c_{ji}+d_{ij}=-a_{ji}+d_{ij}$%, в результате чего элементы матрицы $%D$% однозначно выражаются через элементы матрицы $%A$%. Следовательно, элементы матрицы $%C=A-D$% тоже однозначно выражаются, откуда следует единственность.

Полагая $%d_{ji}=0$%, $%d_{ij}=a_{ij}+a_{ji}$% при $%j > i$%; $%d_{ii}=a_{ii}$%, мы задаём верхнетреугольную матрицу $%D$%. Рассмотрим матрицу $%C=A-D$%. Для неё $%c_{ii}=0$%, $%c_{ji}=a_{ji}$% при $%j > i$% и $%c_{ij}=a_{ij}-d_{ij}=-a_{ji}=-c_{ji}$% для тех же значений индексов, поэтому $%C$% кососимметрическая. Тем самым, доказаны существование и единственность представления $%A=C+D$%, то есть $%{\rm Mat}_n(\mathbb R)$% есть прямая сумма $%U\oplus W$%.

Найдём проекции матричных единиц. Если $%i=j$%, то проекция $%E_{ii}$% на подпространство кососимметрических матриц параллельно $%V$% будет нулевой матрицей. При $%i\ne j$% в согласии с формулой для $%c_{ij}$% получится кососимметрическая матрица, для которой $%c_{ij}=\frac12$% и $%c_{ji}=-\frac12$% для данных индексов, а все остальные элементы нулевые.

Для проекции на то же подпространство параллельно $%W$% получится следующее: $%E_{ij}$% проектируется на нулевую матрицу из $%U$% при $%i\le j$%, являясь верхнетреугольной, а в случае $%i > j$% к единице, стоящей на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца этой матрицы, добавляется $%-1$% на симметричном относительно главной диагонали месте.

ссылка

отвечен 9 Мар '15 3:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×939
×116

задан
9 Мар '15 2:51

показан
560 раз

обновлен
9 Мар '15 13:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru