Вычислить определитель

alt text

задан 9 Мар '15 23:47

1

@Snaut, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(10 Мар '15 8:34) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сначала вычитаем из каждого столбца последний, затем к последней строке прибавляем первую строку, умноженную на $%a^n$%; вторую строку, умноженную на $%a^{n-1}$%, $%(n-1)$% строку, умноженную на $%a$%.

Получаем треугольную форму, определитель равен произведению $$1\cdot a\cdot a^2...\cdot a^{n-1}(x+a^n+xa^n+xa^{n-1}+...+xa)=a^{\frac{n(n-1)}2}\left(a^n+x\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\right).$$

ссылка

отвечен 10 Мар '15 0:07

изменен 10 Мар '15 0:14

в самом последнем слагаемом формулы не ошибка? может вместо $%a^{n+1}$% нужно $%a^{n}$% ?

(10 Мар '15 2:00) Snaut

@Snaut: Ошибки нет: $$x+a^n+xa^n+xa^{n-1}+...+xa=a^n+x(a^n+a^{n-1}+...+a+1)=a^n+x\frac{a^{n+1}-1}{a-1}.$$

P.S. И ответ тот же, что и у @falcao.

(10 Мар '15 2:50) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, спасибо!

(10 Мар '15 3:31) Snaut
10|600 символов нужно символов осталось
1

Вычтем первую строку из каждой из остальных. Первая строка не изменится, в первом столбце все элементы кроме самого первого будут равны $%-1$%, а остальная часть матрицы станет диагональной с элементами $%a$%, $%a^2$%, ... , $%a^n$% вдоль главной диагонали. Обозначим такой определитель через $%\Delta_n$%. Легко видеть, что $%\Delta_0=x+1$%, $%\Delta_1=a(x+1)+x=x(a+1)+a$%. При $%n\ge2$% выведем рекуррентное соотношение, применяя разложение определителя по последней строке. Ясно, что $%a^n$% домножится на $%\Delta_{n-1}$%. Элемент $%-1$% находится в $%(n+1)$%-й строке и первом столбце определителя, поэтому домножается на $%(-1)^n$%. Ему соответствует минор, который можно разложить по последнему столбцу. Единственным ненулевым элементом этого столбца является $%x$%, и он находится в первой строке и $%n$%-м столбце минора, то есть домножается на $%(-1)^{n+1}$%. А ему самому соответствует минор $%(n-1)$%-го порядка, являющийся определителем диагональной матрицы. Произведение диагональных элементов там равно $%aa^2\ldots a^{n-1}=a^{(n-1)n/2}$%.

Произведение "знаков" равно $%(-1)(-1)^n(-1)^{n+1}=1$%, поэтому рекуррентная формула имеет вид $%\Delta_n=a^n\Delta_{n-1}+xa^{(n-1)n/2}$%. Отсюда $%\Delta_2=x(a^3+a^2+a)+a^3$%, $%\Delta_3=x(a^6+a^5+a^4+a^3)+a^6$% и так далее. Закономерность здесь нетрудно угадать: стоящие с краю показатели степеней являются треугольными числами. Общий ответ: $$\Delta_n=x(a^{n(n+1)/2}+\cdots+a^{(n-1)n/2})+a^{n(n+1)/2},$$ что легко выводится из рекуррентной формулы при помощи метода математической индукции. При желании, можно далее применить формулу для суммы членов геометрической прогрессии, но это не обязательно.

ссылка

отвечен 10 Мар '15 0:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×343

задан
9 Мар '15 23:47

показан
710 раз

обновлен
10 Мар '15 8:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru