Вычислить определитель

alt text

задан 9 Мар '15 23:47

1

@Snaut, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(10 Мар '15 8:34) Виталина

переписывать свой ответ из другого тропика не буду, но вставлю ссылку... здесь можно использовать те же соображения...

(28 Апр 18:09) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
2

Сначала вычитаем из каждого столбца последний, затем к последней строке прибавляем первую строку, умноженную на $%a^n$%; вторую строку, умноженную на $%a^{n-1}$%, $%(n-1)$% строку, умноженную на $%a$%.

Получаем треугольную форму, определитель равен произведению $$1\cdot a\cdot a^2...\cdot a^{n-1}(x+a^n+xa^n+xa^{n-1}+...+xa)=a^{\frac{n(n-1)}2}\left(a^n+x\frac{a^{n+1}-1}{a-1}\right).$$

ссылка

отвечен 10 Мар '15 0:07

изменен 10 Мар '15 0:14

в самом последнем слагаемом формулы не ошибка? может вместо $%a^{n+1}$% нужно $%a^{n}$% ?

(10 Мар '15 2:00) Snaut

@Snaut: Ошибки нет: $$x+a^n+xa^n+xa^{n-1}+...+xa=a^n+x(a^n+a^{n-1}+...+a+1)=a^n+x\frac{a^{n+1}-1}{a-1}.$$

P.S. И ответ тот же, что и у @falcao.

(10 Мар '15 2:50) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, спасибо!

(10 Мар '15 3:31) Snaut
10|600 символов нужно символов осталось
1

Вычтем первую строку из каждой из остальных. Первая строка не изменится, в первом столбце все элементы кроме самого первого будут равны $%-1$%, а остальная часть матрицы станет диагональной с элементами $%a$%, $%a^2$%, ... , $%a^n$% вдоль главной диагонали. Обозначим такой определитель через $%\Delta_n$%. Легко видеть, что $%\Delta_0=x+1$%, $%\Delta_1=a(x+1)+x=x(a+1)+a$%. При $%n\ge2$% выведем рекуррентное соотношение, применяя разложение определителя по последней строке. Ясно, что $%a^n$% домножится на $%\Delta_{n-1}$%. Элемент $%-1$% находится в $%(n+1)$%-й строке и первом столбце определителя, поэтому домножается на $%(-1)^n$%. Ему соответствует минор, который можно разложить по последнему столбцу. Единственным ненулевым элементом этого столбца является $%x$%, и он находится в первой строке и $%n$%-м столбце минора, то есть домножается на $%(-1)^{n+1}$%. А ему самому соответствует минор $%(n-1)$%-го порядка, являющийся определителем диагональной матрицы. Произведение диагональных элементов там равно $%aa^2\ldots a^{n-1}=a^{(n-1)n/2}$%.

Произведение "знаков" равно $%(-1)(-1)^n(-1)^{n+1}=1$%, поэтому рекуррентная формула имеет вид $%\Delta_n=a^n\Delta_{n-1}+xa^{(n-1)n/2}$%. Отсюда $%\Delta_2=x(a^3+a^2+a)+a^3$%, $%\Delta_3=x(a^6+a^5+a^4+a^3)+a^6$% и так далее. Закономерность здесь нетрудно угадать: стоящие с краю показатели степеней являются треугольными числами. Общий ответ: $$\Delta_n=x(a^{n(n+1)/2}+\cdots+a^{(n-1)n/2})+a^{n(n+1)/2},$$ что легко выводится из рекуррентной формулы при помощи метода математической индукции. При желании, можно далее применить формулу для суммы членов геометрической прогрессии, но это не обязательно.

ссылка

отвечен 10 Мар '15 0:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим исходный определитель через $%D$%.

Учитывая, что его порядок равен $%n+1$%, будем считать первый столбец и первую строку нулевыми, второй столбец и вторую строку первыми и так далее.

Разложим его в сумму двух определителей, расщепив нулевой столбец:

$$ D = \begin{vmatrix} {x + 1}&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&x&x&{...}&x\\ 0&{x + a}&x&{...}&x\\ 0&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix}. $$

Первый из полученных определителей обозначим через $%\Delta _0$%, во втором вычтем нулевой столбец из всех последующих, получим определитель треугольного вида:

$$\begin{vmatrix} x&x&x&{...}&x\\ x&{x + a}&x&{...}&x\\ x&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x&0&0&{...}&0\\ x&a&0&{...}&0\\ x&0&{{a^2}}&{...}&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x&0&0&{...}&{{a^n}} \end{vmatrix} = x \cdot a \cdot {a^2}...\,{a^n}. $$

Таким образом, $%D = \Delta _0 + x \cdot a \cdot a^2...a^n.$%

Разложим $%\Delta _0$% в сумму двух определителей, расщепив первый столбец:

$$ \Delta _0 = \begin{vmatrix} 1&x&x&{...}&x\\ 0&{x + a}&x&{...}&x\\ 0&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&0&x&{...}&x\\ 0&a&x&{...}&x\\ 0&0&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&x&x&{...}&x\\ 0&x&x&{...}&x\\ 0&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix}. $$

Первый из полученных определителей обозначим через $%\Delta _1$%, во втором вычтем первый столбец из всех последующих и затем вычтем первую строку из предыдущей, то есть из нулевой, получим определитель треугольного вида:

$$ \begin{vmatrix} 1&x&x&{...}&x\\ 0&x&x&{...}&x\\ 0&x&{x + {a^2}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&x&0&{...}&0\\ 0&x&0&{...}&0\\ 0&x&{{a^2}}&{...}&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&x&0&{...}&{{a^n}} \end{vmatrix} = $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&0&0&{...}&0\\ 0&x&0&{...}&0\\ 0&x&{{a^2}}&{...}&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&x&0&{...}&{{a^n}} \end{vmatrix} = 1 \cdot x \cdot {a^2}...{a^n}. $$

Таким образом, $%D = \Delta _1 + x \cdot a \cdot a^2...a^n + 1 \cdot x \cdot a^2...a^n.$%

Разложим $%\Delta _1$% в сумму двух определителей, расщепив второй столбец:

$$ \Delta _1= \begin{vmatrix} 1&0&x&x&{...}&x\\ 0&a&x&x&{...}&x\\ 0&0&{x + {a^2}}&x&{...}&x\\ 0&0&x&{x + {a^3}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&0&0&x&{...}&x\\ 0&a&0&x&{...}&x\\ 0&0&{{a^2}}&x&{...}&x\\ 0&0&0&{x + {a^3}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1&0&x&x&{...}&x\\ 0&a&x&x&{...}&x\\ 0&0&x&x&{...}&x\\ 0&0&x&{x + {a^3}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix}. $$

Первый из полученных определителей обозначим через $%\Delta _2$%, во втором вычтем второй столбец из всех последующих и затем вычтем вторую строку из всех предыдущих (то есть из нулевой и первой), получим определитель треугольного вида:

$$ \begin{vmatrix} 1&0&x&x&{...}&x\\ 0&a&x&x&{...}&x\\ 0&0&x&x&{...}&x\\ 0&0&x&{x + {a^3}}&{...}&x\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&x&x&{...}&{x + {a^n}} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0&x&0&{...}&0\\ 0&a&x&0&{...}&0\\ 0&0&x&0&{...}&0\\ 0&0&x&{{a^3}}&{...}&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&x&0&{...}&{{a^n}} \end{vmatrix} = $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&0&0&0&{...}&0\\ 0&a&0&0&{...}&0\\ 0&0&x&0&{...}&0\\ 0&0&x&{{a^3}}&{...}&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&x&0&{...}&{{a^n}} \end{vmatrix} = 1 \cdot a \cdot x \cdot {a^3}...{a^n} = 1 \cdot a \cdot x \cdot ...{a^n}. $$

Таким образом, $%D = \Delta _2 + x \cdot a \cdot a^2...a^n + 1 \cdot x \cdot a^2...a^n + 1 \cdot a \cdot x \cdot ...a^n.$%

И так далее, в итоге имеем

$$ D = \Delta _n + x \cdot a \cdot a^2...a^n + 1 \cdot x \cdot a^2...a^n + ... + 1 \cdot a \cdot a^2...x = $$

$$ = \begin{vmatrix} 1&0&0&{...}&0\\ 0&a&0&{...}&0\\ 0&0&{{a^2}}&{...}&0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0&0&0&{...}&{{a^n}} \end{vmatrix} + x \cdot a \cdot {a^2}...{a^n} + 1 \cdot x \cdot {a^2}...{a^n} + ... + 1 \cdot a \cdot {a^2}...x = $$

$$ = 1 \cdot a \cdot {a^2}...{a^n} + x \cdot a \cdot {a^2}...{a^n} + 1 \cdot x \cdot {a^2}...{a^n} + ... + 1 \cdot a \cdot {a^2}...x = $$

$$ = 1 \cdot a \cdot {a^2}...{a^n} + x\left( {1 \cdot a \cdot {a^2}...{a^n} + 1 \cdot 1 \cdot {a^2}...{a^n} + ... + 1 \cdot a \cdot {a^2}... \cdot 1} \right) = $$

$$ = a \cdot {a^2}...{a^n} + x\left( {a \cdot {a^2}...{a^n} + {a^2}...{a^n} + ... + a \cdot {a^2}...{a^{n - 1}}} \right) = $$

$$ = {a^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}} + x\left( {{a^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}} + {a^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1}} + ... + {a^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}}} \right) = x\left( {{a^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}} + {a^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1}} + ... + {a^{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}}} \right) + {a^{\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}}}, $$

где $%\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$% и $%\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$% - соседние треугольные числа.

При вычислении определителя $%D$% расщеплять столбцы можно, начиная не с нулевого, а с $%n$%-ого столбца, и вообще с любого столбца, и в любом порядке.

Поскольку матрица определителя $%D$% симметричная, расщеплять можно не столбцы, а строки.

ссылка

отвечен 28 Апр 15:11

изменен 3 Май 5:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×358

задан
9 Мар '15 23:47

показан
871 раз

обновлен
3 Май 5:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru