|
В центре участка, имеющего форму круга радиуса 20 км, находится радиопередатчик. На границе этого участка расположены глушители. Передатчик слышен только в тех точках участка, к которым передатчик ближе, чем любой из глушителей. Достаточно ли расположить на границе участка три глушителя, чтобы передатчик было слышно менее, чем на половине участка? задан 10 Мар '15 13:20 
Даниил Ребянин |
|
Пусть $%O$% -- центр круга. Впишем в окружность правильный 6-угольник $%ABCDEF$%. Расположим глушители в точках $%A$%, $%C$%, $%E$%. Расстояние от произвольной точки до глушителя $%A$% и до передатчика $%O$% одинаково, если точка лежит на серединном перпендикуляре к $%AO$%, а он проходит через точки $%B$% и $%F$%. Проводим три таких серединных перпендикуляра для каждого из глушителей. Они образуют треугольник $%BDF$%, вне которого передатчик не слышен. Площадь этого треугольника меньше половины площади круга, что можно увидеть без вычислений. А именно, соединим точку $%O$% с вершинами $%BDF$%, разделив его тем самым на треугольники. Легко видеть, что $%OBF$% симметричен $%ABF$% относительно прямой $%BF$%, и аналогично для двух оставшихся треугольников. Отсюда ясно, что площадь $%BDF$% равна половине площади 6-угольника, то есть меньше половины площади круга. отвечен 10 Мар '15 13:36 
falcao |