При каких n число $%n^2+2014n$% является точным квадратом? Точным кубом?

задан 10 Мар '15 20:22

изменен 10 Мар '15 21:41

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Вероятно, имеются ввиду целые числа.

1) $$n^2+2014n=(n+1007)^2-1007^2=m^2,$$ $$(n+1007)^2-m^2=1007^2,$$ $$(n+m+1007)(n-m+1007)=19^2\cdot53^2.$$ Отсюда составляем простые системы типа

$%n-m+1007=19,$% $%n+m+1007=19\cdot53^2$% из которых находим $%n$%.

(10 Мар '15 20:37) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
0

Число $%n$%, по всей видимости, подразумевается натуральное.

Для начала рассмотрим случай, когда числа $%n$% и $%n+2014$% взаимно просты. Тогда, если их произведение -- точный квадрат, то они сами должны быть точными квадратами: $%n=u^2$%, $%n+2014=v^2$% для некоторых натуральных $%u$% и $%v$%. Тогда $%2014$% представляется в виде разности квадратов: $%2014=v^2-u^2=(v-u)(v+u)$%. Сомножители такого вида всегда имеют одинаковую чётность. Поскольку число в левой части чётно, то среди них имеется чётное, и тогда чётны они оба. Но из этого следует, что левая часть делится на 4, а у нас это не так. Следовательно, этот случай решений не даёт.

Пусть теперь $%d=$%НОД$%(n,n+2014)=$%НОД$%(n,2014) > 1$%. Это число является делителем $%2014=2\cdot19\cdot53$%. Натуральных делителей у него 8, и один случай нами уже рассмотрен, поэтому остаётся разобрать остальные семь случаев. Вот список отличных от единицы делителей, то есть значений, которые может принимать $%d$%: $%2$%, $%19$%, $%38$%, $%53$%, $%106$%, $%1007$%, $%2014$%. Для данного $%d$% мы полагаем $%n=md$%, $%2014=dd'$%, и после сокращения на $%d^2$% число $%n(n+2014)$% превращается в $%m(m+d')$%, которое также является точным квадратом, но сомножители уже взаимно просты. Поэтому мы будем, как и выше, полагать $%m=u^2$%, $%m+d'=v^2$%, откуда $%d'=v^2-u^2=(v-u)(v+u)$%. Разбор случаев начнём с больших значений $%d$%.

1) $%d=2014$%; $%d'=1$%. Здесь решений нет, так как 1 не является разностью квадратов натуральных чисел.

2) $%d=1007$%; $%d'=2$% -- также нет решений.

3) $%d=106$%; $%d'=19$%. Из уравнения $%d'=19=(v-u)(v+u)$% мы получаем единственный вариант $%v-u=1$%, $%u+v=19$%. Это значит, что $%v=10$%, $%u=9$%. Тогда $%n=md=du^2=106\cdot81=8586$% -- одно из решений. При этом $%n(n+2014)=9540^2$%.

4) $%d=53$%; $%d'=38$%. Здесь решений нет, как и в случае рассмотрения самого числа $%2014$%: число чётно, но не делится на 4.

5) $%d=38$%; $%d'=53$%. Для простого числа разложение на множители даёт единственный вариант $%v-u=1$%, $%u+v=53$%, откуда $%u=26$% и $%n=du^2=25688$%. Это ещё одно решение, для которого $%n(n+2014)=9540^2$%.

6) $%d=19$%; $%d'=106$%. Решений нет по той же причине, что и в пункте 4).

7) $%d=2$%; $%d'=1007$%. Здесь $%d'=1007=(v-u)(v+u)$% приводит к двум вариантам: $%1\cdot1007$% и $%19\cdot53$%. В втором из них $%u=17$%, $%n=du^2=578$%, $%n(n+2014)=1224^2$%. В первом варианте получаются самые большие числа: $%v=503$%, $%n=506018$%, $%n(n+2014)=507024^2$%.

Итого получилось 4 натуральных решения: $%n\in\{578;8586;25688;506018\}$%.

В процессе написания сообразил, что можно было действовать несколько проще. Если $%n(n+2014)=N^2$%, то $%(n+1007)^2=N^2+1007^2$%, откуда $%1007^2=(n+1007-N)(n+1007+N)$%. Разложений числа $%1007^2=19^2\cdot53^2$% в произведение меньшего и большего множителей имеется всего 4, откуда можно получить все 4 решения.

Для случая точных кубов способ решения в принципе аналогичен тому, который был изложен выше, но выписывать это всё в деталях очень долго. Решений вроде бы получается два: $%n=361$% и $%n=11236$%, если я ничего не пропустил.

Несколько замечаний по способу решения. Если числа $%n$% и $%n+2014$% взаимно просты, то они являются точными кубами, и тогда $%2014$% представимо в виде разности кубов. Можно проверить, что это не так, при помощи перебора. А именно, разность между соседними кубами $%27^3-26^3$% уже больше $%2014$%, поэтому перебирать нужно не слишком большое число вариантов, беря числа $%26^3$%, $%25^3$%, ... , $%13^3$% и вычитая из них $%2014$%, проверяя, что разность не будет точным кубом. Возможен и другой способ, но он тоже сравнительно длинный: если $%2014=v^3-u^3=(v-u)(v^2+vu+u^2)$%, то $%2014=(v-u)((v-u)^2+3uv)$%. Рассматривая в качестве $%v-u$% всевозможные делители числа $%2014$%, мы знаем разность чисел $%v-u$%, а также их произведение $%uv$%, после чего надо составить квадратное уравнение с данными корнями и проверить, имеет ли оно целочисленные решения.

В случае, если сомножители не взаимно простые, получается примерно следующее. Пусть НОД чисел $%n$% и $%n+2014$% равен $%2$%. Тогда $%n=2m$%, и получается уравнение вида $%m(m+1007)=2N^3$% для некоторого $%N$%. Тогда сомножители имеют вид либо $%2u^3$% и $%v^3$%, либо $%u^3$% и $%2v^3$%, и в каждом случае требуется перебор лишь конечного числа вариантов, что вполне осуществимо при помощи компьютера. И так аналогично для случая других значений делителей. Получается трудоёмко, но я не знаю, есть ли здесь какой-то принципиально более простой путь.

ссылка

отвечен 10 Мар '15 22:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,999
×716

задан
10 Мар '15 20:22

показан
595 раз

обновлен
11 Мар '15 11:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru