Доказать, что в разностороннем треугольнике $%IO\bot E_LE_R$%, где:

$%I$% – инцентр;

$%O$% – центр описанной окружности;

$%E_L$% – левая точка Енжабека определяется так: $%A_1\in BC, B_1\in AC$% и $%C_1\in AB$%, $%E_LA_1║CA$%, $%E_LB_1║AB$%, $%E_LC_1║BC$% и $%E_LA_1=E_LB_1=E_LC_1$%;

$%E_R$% – правая точка Енжабека определяется так: $%A_2\in BC, B_2\in AC$% и $%C_2\in AB$%, $%E_RA_2║AB$%, $%E_RB_2║BC$%, $%E_RC_2║CA$% и $%E_RA_2=E_RB_2=E_RC_2$%.

задан 11 Мар '15 0:44

Я почему-то стал доказывать параллельность прямых, и у меня ничего не вышло. Сейчас обратил внимание, что речь о перпендикулярности -- тогда считать будет намного проще. Все барицентрические координаты уже найдены.

(11 Мар '15 3:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Используя свойства подобных треугольников, нетрудно найти длины всех отрезков, которые образуются при пересечении прямых, параллельным сторонам, возникающих при построении точек Енжабека. Отсюда нетрудно найти барицентрические координаты и радиус-векторы этих точек. Получается, что $%E_L$% имеет координаты $%(ca,ab,bc)$%, делённые на сумму попарных произведений длин сторон, а для $%E_R$% аналогично получается $%(ab,bc,ca)$%. Таким образом, вектор $%a(b-c)\vec{A}+b(c-a)\vec{B}+c(a-b)\vec{C}$% параллелен прямой $%E_LE_R$%. Будем все векторы откладывать от точки $%O$% -- центра описанной окружности. Вектор $%a\vec{A}+b\vec{B}+c\vec{C}$% параллелен прямой $%OI$%. Поэтому достаточно доказать, что скалярное произведение двух векторов равно нулю.

Нетрудно проверить, что скалярное произведение $%(x_1\vec{A}+y_1\vec{B}+z_1\vec{C})\cdot(x_2\vec{A}+y_2\vec{B}+z_2\vec{C})$% равно $%(x_1+y_1+z_1)(x_2+y_2+z_2)R^2-\frac12(a^2(y_1z_2+z_1y_2)+b^2(x_1z_2+z_1x_2)+c^2(x_1y_2+y_1x_2))$%. Поскольку в нашем случае сумма координат первого вектора равна нулю, достаточно проверить, что вычитаемое равно нулю. Действительно, $%y_1z_2+z_1y_2=bc(c-a)+bc(a-b)=bc(c-b)$%, и всё в сумме даст $%abc(a(c-b)+b(a-c)+c(b-a))=0$%, что и требовалось установить.

ссылка

отвечен 12 Мар '15 3:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×827
×491
×11

задан
11 Мар '15 0:44

показан
6490 раз

обновлен
12 Мар '15 3:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru