У выпуклом 100-угольнике отметили все его вершины, а также несколько точек внутри этого многоугольника. Любые три из отмеченных точек не лежат на одной прямой. Отмеченные точки соединили между собой таким образом, что многоугольник оказался полностью разбит на 2011 выпуклых многоугольников. Докажите, что по крайней мере один из этих многоугольников имеет четное количество сторон.

задан 11 Мар '15 17:27

изменен 11 Мар '15 17:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассуждаем от противного. Пусть все многоугольники разбиения имеют нечётное число сторон. Тогда каждый из них можно разрезать на нечётное число треугольников (одну из вершин соединяем с остальными). Общее число треугольников оказывается нечётно (сумма 2011 нечётных слагаемых). Сумма углов равна $%\pi(2k+1)$% -- нечётное кратное $%\pi$%.

С другой стороны, та же сумма углов равна сумме углов 100-угольника, то есть $%98\pi$%, плюс сумма полных углов при каждой из внутренних (это важно!) вершин, что даёт чётное кратное $%\pi$%. Противоречие.

ссылка

отвечен 11 Мар '15 17:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×51

задан
11 Мар '15 17:27

показан
1738 раз

обновлен
11 Мар '15 17:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru