2
1

Решить функциональное уравнение $$f(sin\pi x)=f(x)\cos \pi x$$ Я получил, что в целых точках функция имеет нулевые значения, кроме того ясно, что она периодична с периодом $%2$%. Я думаю, что условие удовлетворяет только $%f(x)=0$%, но доказать не могу.

задан 12 Мар '15 18:03

изменен 15 Мар '15 20:31

@Василий16: нет ли здесь ещё дополнительного ограничения, что функция является непрерывной? Для разрывного случая, судя по всему, здесь могут возникать какие-то "дикие" функции.

(12 Мар '15 18:12) falcao

@falcao, да, функция должна быть непрерывной

(12 Мар '15 19:48) Василий16
10|600 символов нужно символов осталось
2

Подставляя $%x=1$%, получаем $%f(0)=-f(1)$%. При $%x=\frac12$% получается $%f(1)=0$%, то есть функция равна нулю на концах отрезка $%[0;1]$%. Предположим, что она не является на этом отрезке тождественно нулевой. Тогда функция $%|f(x)|$%, являющаяся непрерывной, достигает наибольшего значения на этом отрезке в некоторой точке $%a$%, причём $%|f(a)| > 0$%. Ясно тогда, что $%a\in(0;1)$%, и при этом верно неравенство $%|f(a)|\ge|f(x)|$% для всех $%x\in[0;1]$%.

Рассмотрим уравнение $%\sin\pi x=a$%. Очевидно, оно имеет решение $%x\in(0;\frac12)$%. Тогда $%f(a)=f(\sin\pi x)=f(x)\cos\pi x$%, где $%0 < \cos\pi x < 1$%. Из этого следует, что $%|f(x)|=\frac{|f(a)|}{\cos\pi x} > |f(a)|$%, то есть мы имеем противоречие.

Теперь нам известно, что $%f(x)=0$% для всех $%x\in[0;1]$%. Аналогичное рассуждение проводим для отрезка $%x\in[-1;0]$%. При $%x=-\frac12$% получаем $%f(-1)=0$%, и далее рассматриваем точку $%a$% наибольшего значения такой же функции, где $%a\in(-1;0)$%. Затем находим $%x\in(-\frac12;0)$%, при котором $%\sin\pi x=a$%, и далее всё аналогично.

Таким образом, $%f(x)=0$% для всех $%x\in[-1;1]$%. Осталось подставить в тождество число $%x+2$% вместо $%x$%. Как следствие, получится $%f(\sin\pi x)=f(x+2)\cos\pi x$%. Если $%\cos\pi x\ne0$%, то $%f(x+2)=f(x)$%. Из этого с учётом сказанного выше следует, что $%f(x)=0$% для всех $%x$% кроме нескольких изолированных точек, в которых $%\cos\pi x$% обращается в ноль. Но тогда с учётом непрерывности получается, что и в этих точках функция равна нулю, то есть она тождественно нулевая на всей прямой.

ссылка

отвечен 15 Мар '15 12:53

изменен 15 Мар '15 21:09

Подставив x+1 мы получим $%f(-\sin{\pi x})=-f(x)\cos(\pi x)$% . Каким образом вы поменяли знак ?

(15 Мар '15 20:49) Василий16

@Василий16: прошу прощения, это я недосмотрел. Сейчас исправлю концовку рассуждения.

(15 Мар '15 21:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×106

задан
12 Мар '15 18:03

показан
733 раза

обновлен
15 Мар '15 21:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru