Назовем натуральное число близнецом, если у него есть два делителя с множества $%D$%, разница между которыми равняется $%2$%. Выясните, каких чисел больше среди первых $%20 112 012$% чисел: близнецов или тех, что не есть близнецами, если:

а) $%D$% - множество всех натуральных чисел от $%1$% до самого числа включительно;

б) $%D$% - множество всех натуральных чисел кроме $%1$% и самого числа.

задан 13 Мар '15 18:30

В пункте а) ответ положительный -- это почти сразу видно. Насчёт б) пока не знаю. Терминология несколько неудачная, так как понятие близнецов уже существует (29 и 33 и т.п.). Лучше было назвать число "хорошим" или "интересным", как это чаще всего делают.

(13 Мар '15 19:17) falcao

@falcao: пункт а) я решил. Можете решение этого пункта не писать. Насчет терминологии - полностью согласен. Но я решил сделать все как это написано в книге-первоисточнике. Поэтому сохранил и название "чисел-близнецов", и написал пункт а), хотя мне нужен только пункт б)

(13 Мар '15 19:28) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я изложу заодно и решение пункта а), так как оно короткое. Полезно также сравнить способы.

а) Нам здесь подходят числа, делящиеся на 3, а также делящиеся на 4. Число $%N$% из условия делится на 12. Среди чисел от 1 до $%N$% имеется ровно $%N/3$% кратных 3, ровно $%N/4$% кратных 4, и ровно $%N/12$% обладающих обоими свойствами. Поэтому чисел, делящихся на 3 или на 4, будет равно $%N(1/3+1/4-1/12)=N/2$%, то есть в точности половина. Помимо них есть и другие -- например, 35. Поэтому чисел первого типа получается больше.

б) Здесь ответ противоположный. Числа, делящиеся на 4, по-прежнему подходят. Рассмотрим какое-либо число, делящееся на $%d$% и на $%d+2$%, где $%d > 1$%. Если $%d$% чётно, то число делится на 4, и этот случай уже учтён. Если $%d$% нечётно, то числа $%d$% и $%d+2$% взаимно просты, то есть имеет место делимость на их произведение.

Очевидно, что среди первых $%N$% натуральных чисел имеется не более $%N/m$% таких, которые делятся на $%m$%. Поэтому для количества интересующих нас чисел имеет место такая оценка сверху: $%\frac{N}4+\frac{N}{3\cdot5}+\frac{N}{5\cdot7}+\cdots$%. То, что множества здесь могут пересекаться, роли не играет, так как число элементов объединения всегда не превосходит суммы мощностей объединяемых множеств.

С учётом того, что $%\frac{N}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{N}2(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1})$%, имеем оценку сверху $%\frac{N}4+\frac{N}2(\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots) < \frac{N}4+\frac{N}6=\frac5{12}N < \frac{N}2$%, то есть чисел второго вида оказывается больше.

ссылка

отвечен 13 Мар '15 20:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,123

задан
13 Мар '15 18:30

показан
872 раза

обновлен
13 Мар '15 20:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru