комбинаторика - Числа-близнецы

Я изложу заодно и решение пункта а), так как оно короткое. Полезно также сравнить способы.

а) Нам здесь подходят числа, делящиеся на 3, а также делящиеся на 4. Число $%N$% из условия делится на 12. Среди чисел от 1 до $%N$% имеется ровно $%N/3$% кратных 3, ровно $%N/4$% кратных 4, и ровно $%N/12$% обладающих обоими свойствами. Поэтому чисел, делящихся на 3 или на 4, будет равно $%N(1/3+1/4-1/12)=N/2$%, то есть в точности половина. Помимо них есть и другие -- например, 35. Поэтому чисел первого типа получается больше.

б) Здесь ответ противоположный. Числа, делящиеся на 4, по-прежнему подходят. Рассмотрим какое-либо число, делящееся на $%d$% и на $%d+2$%, где $%d > 1$%. Если $%d$% чётно, то число делится на 4, и этот случай уже учтён. Если $%d$% нечётно, то числа $%d$% и $%d+2$% взаимно просты, то есть имеет место делимость на их произведение.

Очевидно, что среди первых $%N$% натуральных чисел имеется не более $%N/m$% таких, которые делятся на $%m$%. Поэтому для количества интересующих нас чисел имеет место такая оценка сверху: $%\frac{N}4+\frac{N}{3\cdot5}+\frac{N}{5\cdot7}+\cdots$%. То, что множества здесь могут пересекаться, роли не играет, так как число элементов объединения всегда не превосходит суммы мощностей объединяемых множеств.

С учётом того, что $%\frac{N}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{N}2(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1})$%, имеем оценку сверху $%\frac{N}4+\frac{N}2(\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+\cdots) < \frac{N}4+\frac{N}6=\frac5{12}N < \frac{N}2$%, то есть чисел второго вида оказывается больше.