В треугольник вписана окружность радиуса 1, может ли площадь этого треугольника равняться 6?

задан 14 Мар '15 0:27

изменен 14 Мар '15 9:51

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Очевидно, что нет, так как площадь круга равна $%\pi$%, и это ощутимо меньше 6. Вообще, максимальное значение площади достигается для равностороннего треугольника, и оно равно $%3\sqrt3/4$%. Это меньше, чем 1,3.

(14 Мар '15 0:31) falcao

Но ведь речь о вписанной окружности.

(14 Мар '15 1:09) Kazuza

@Kazuza: да, Вы правы. Я неправильно прочитал условие. Сейчас напишу то, о чём спрашивалось.

(14 Мар '15 1:31) falcao

@Kazuza: несколько "праздный" вопрос. Ваш ник -- это в честь знаменитого бразильского музыканта, или по какой-то другой причине? :)

(14 Мар '15 1:46) falcao

@Kazuza, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(14 Мар '15 9:51) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим правильный треугольник, радиус вписанной окружности которого равен 1. Тогда сторона равна $%2\sqrt3$%, а площадь равна $%3\sqrt3$%, что меньше 6. Будем увеличивать одну из высот треугольника, оставляя его равнобедренным. Очевидно, что высота может принимать сколь угодно большие значения, а основание будет больше диаметра вписанной окружности. Поэтому площадь будет принимать сколь угодно большие значения.

Поскольку площадь изменяется непрерывно в зависимости от высоты, она будет принимать все промежуточные значения между $%3\sqrt3$% и $%+\infty$%, в том числе 6.

Можно заметить, что длина высоты, дающая требуемое значение площади, является корнем кубического уравнения, не имеющего рациональных корней. Поэтому находить элементы такого треугольника в явном виде не слишком желательно.

ссылка

отвечен 14 Мар '15 1:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,579
×391
×235

задан
14 Мар '15 0:27

показан
739 раз

обновлен
14 Мар '15 9:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru